Mathématiques du poker : formules, probabilités et calculateurs gratuits

Cartes et probabilités

Le paquet en chiffres : 52 cartes, 1 326 mains de départ

C(52, 2) = 52 × 51 ÷ 2 = 1 326 mains de départ, où C(n, k) compte les façons de choisir k cartes parmi n. Un type : paire 4 × 3 ÷ 2 = 6, assortie 4, dépareillée 4 × 3 = 12

À quelle fréquence tu reçois une paire, des as ou une main assortie

Probabilité d’une main = ses combinaisons ÷ 1 326 : as 6 ÷ 1 326 = 1 sur 221, n’importe quelle paire 78 ÷ 1 326 = 1 sur 17

Les combinaisons d’une main : 6, 4 et 12

Paire : n × (n − 1) ÷ 2 avec n cartes inconnues de son rang : 4 → 6, 3 → 3, 2 → 1. Non appariée : inconnues d’un rang × inconnues de l’autre : 3 × 4 = 12

Cotes et pourcentages au poker : comment les convertir

a contre b = b ÷ (a + b) : 4 contre 1 = 1 ÷ 5 = 20 %. Cote = échecs ÷ réussites : à 25 %, on rate 75 % du temps, 75 ÷ 25 = 3 contre 1

Au moins une fois : la règle du complément

P(au moins une fois en n essais) = 1 − (1 − p)ⁿ : des as en 100 mains, 1 − (220/221)¹⁰⁰ ≈ 1 − 0,635 = 36,5 %

Ce qu’apporte le flop : sets, tirages couleur et paires

Flops = C(50, 3) = 50 × 49 × 48 ÷ 6 = 19 600. Au moins une réussite = 1 − flops ratés ÷ 19 600 : un set avec une paire servie, 1 − 17 296 ÷ 19 600 = 11,8 %

Les dix rangs de mains et leur fréquence

Une main sur combien = toutes les mains ÷ mains de ce rang : une quinte flush royale, c’est 2 598 960 ÷ 4 = 649 740 avec cinq cartes, 133 784 560 ÷ 4 324 = 30 940 avec sept

Cotes du pot et outs

Cote du pot (pot odds) et cotes implicites

Équité nécessaire = call ÷ (pot + call), où le pot inclut la mise à laquelle tu fais face. Gains supplémentaires nécessaires = call ÷ équité − (pot + call)

Se coucher, payer ou relancer : choisir l’action

Prix = call ÷ (pot avec sa mise + call) : 10 ÷ (30 + 10) = 25 %. Paie quand tu gagnes plus souvent que le prix

Compter les outs : propres ou sales

Une carte : outs ÷ 47 au flop, outs ÷ 46 au turn. Deux cartes : 1 − (47 − outs) ÷ 47 × (46 − outs) ÷ 46. Règles rapides : outs × 2 % ou outs × 4 %

Toucher son tirage : des mains qui changent

Une carte : outs ÷ 47. Deux cartes : 1 − (47 − outs)/47 × (46 − outs)/46. Règle du 2 et du 4 : ≈ 2 % ou 4 % par out

Cartes gratuites et protection

Mise d’équilibre contre un tirage au turn = pot × outs ÷ (46 − 2 × outs) : 20 × 9 ÷ 28 = 6,4 bb

Les paires servies et le set mining

À gagner avec chaque set = 7,5 × call ; à gagner après le flop = 7,5 × call − jetons des autres joueurs dans le pot : 7,5 × 3 − 4,5 = 18 bb

Équité et ranges de mains

La domination : pourquoi A9 perd contre AK

Équité = (victoires + partages ÷ 2) ÷ boards : (407 694 + 79 513 ÷ 2) ÷ 1 712 304 = 26,1 %

Les connecteurs assortis et les cartes broadway

Bonus assorti = équité assortie − équité dépareillée : 45,4 % − 42,3 % = 3,1 points

Lire les mains comme des distributions

Paires : C(4,2) = 6 combinaisons ; mains non appariées : 4 × 4 = 16 (4 assorties, 12 dépareillées). Une carte d’un rang visible : paires 3, non appariées 3 × 4 = 12

Ta main contre une distribution

Équité contre range = Σ combos(h) × équité contre h ÷ Σ combos(h)

Jouer juste, cartes sur table

EV(call) = équité × (pot + call) − call, avec son tapis dans le pot ; paie quand équité > call ÷ (pot + call)

Espérance, mises et théorie des jeux

Espérance de gain (EV) au poker : évaluer un call

EV = Σ probabilité × résultat. Payer : EV = équité × pot − (1 − équité) × call = équité × (pot + call) − call, avec sa mise dans le pot

Pourquoi miser : la valeur et les bluffs

Un bluff doit réussir mise ÷ (pot + mise) du temps : 10 ÷ (20 + 10) = 1 sur 3 = 33,3 %

La taille des mises en part du pot

Prix de celui qui paie = mise ÷ (pot + 2 × mise). Un bluff doit réussir mise ÷ (pot + mise). La moitié du pot : 15 ÷ 60 = 25 % et 15 ÷ 45 = 33,3 %

Jeux à demi-street et ratio de bluff

α = s ÷ (1 + s). Bluffs par mise de valeur = α ; part de bluffs dans la range de mise = α ÷ (1 + α) ; défense minimale = 1 − α = 1 ÷ (1 + s)

Théorie des jeux au poker : stratégie optimale et exploitante

Équilibre : chaque stratégie est une meilleure réponse à l’autre. Mise de la taille du pot : un bluff pour deux mises de valeur, donc les bluffs représentent mise ÷ (pot avant la mise + 2 × mise) = 1 ÷ 3 des mises

Le jeu AKQ : la théorie des jeux du poker avec trois cartes

Pot P (plus d’une mise), mise 1 : bluffe la Q avec une fréquence 1 ÷ (P + 1) ; paie avec le K avec une fréquence (P − 1) ÷ (P + 1)

Le jeu [0,1] : des mains continues

α = 1 ÷ (P + 1). L’adversaire paie avec les meilleures c = 2(1 − α) ÷ ((1 + α)(2 − α)) ; le miseur mise pour la valeur les meilleures c ÷ 2 et bluffe les pires α × c ÷ 2

En route vers le poker : plusieurs streets

Même fraction f à chaque street : pot × (1 + 2f)^n = pot + 2 × tapis

Tapis courts, tournois et bankroll

Heads-up avec de grosses blindes : tapis ou fold

EV du tapis par rapport au fold (tapis de départ S bb, blindes 0,5 et 1) : P(fold) × 1,5 + P(call) × [équité × 2S − (S − 0,5)]

Tournois et ICM : les jetons ne sont pas de l’argent

ICM : P(1er) = tapis ÷ total des jetons, puis de même pour les places restantes ; équité = Σ P(place) × prix. Équité nécessaire pour payer (ICM) = perte ÷ (perte + gain)

Variance au poker : pourquoi les résultats fluctuent

Après N mains : moyenne = winrate × N/100 ; dispersion = 1,96 × ET × √(N/100) ; winrate mesuré ± 1,96 × ET ÷ √(N/100)

Risque de ruine au poker : bankroll et variance

Risque de ruine ≈ e^(−2 w B ÷ σ²) ; bankroll pour un risque cible r : B = −σ² × ln(r) ÷ (2w)

Critère de Kelly au poker : risque de bankroll

Fraction de Kelly f* = (b × p − q) ÷ b pour une cote de b contre 1, une probabilité de gain p et de perte q = 1 − p. Croissance = p ln(1 + b f) + q ln(1 − f)

Les règles de bankroll : buy-ins, monter et descendre de limite

Buy-ins = bankroll ÷ (100 × grosse blinde) : 1 000 ÷ (100 × 0,5) = 20. Descendre sous règle × 100 × grosse blinde