Matemáticas del póker: fórmulas, probabilidades y calculadoras gratis

Cartas y probabilidad

La baraja en números: 52 cartas, 1.326 manos iniciales

C(52, 2) = 52 × 51 ÷ 2 = 1.326 manos iniciales, donde C(n, k) cuenta las formas de elegir k cartas de n. Un tipo: pareja 4 × 3 ÷ 2 = 6, del mismo palo 4, de distinto palo 4 × 3 = 12

Con qué frecuencia recibes una pareja, ases o una mano del mismo palo

Probabilidad de una mano = sus combinaciones ÷ 1.326: ases 6 ÷ 1.326 = 1 de cada 221, cualquier pareja 78 ÷ 1.326 = 1 de cada 17

Las combinaciones de una mano: 6, 4 y 12

Pareja: n × (n − 1) ÷ 2 con n cartas sin ver de su valor: 4 → 6, 3 → 3, 2 → 1. Sin pareja: sin ver de un valor × sin ver del otro: 3 × 4 = 12

Odds y porcentajes en el póker: cómo convertirlos

m a n en contra = n ÷ (m + n): 4 a 1 = 1 ÷ 5 = 20%. Odds en contra = fallos ÷ aciertos: un 25% falla el 75%, 75 ÷ 25 = 3 a 1

Al menos una vez: la regla del complemento

P(al menos una vez en n intentos) = 1 − (1 − p)ⁿ: ases en 100 manos, 1 − (220/221)¹⁰⁰ ≈ 1 − 0,635 = 36,5%

Lo que trae el flop: sets, proyectos de color y parejas

Flops = C(50, 3) = 50 × 49 × 48 ÷ 6 = 19.600. Al menos un acierto = 1 − fallos ÷ 19.600: set con una pareja servida 1 − 17.296 ÷ 19.600 = 11,8%

Las diez categorías de manos y con qué frecuencia salen

Una mano de cada cuántas = todas las manos ÷ manos de la categoría: una escalera real es 2.598.960 ÷ 4 = 649.740 con cinco cartas, 133.784.560 ÷ 4.324 = 30.940 con siete

Pot odds y outs

Pot odds y odds implícitas

Equity necesaria = pago ÷ (bote + pago), donde el bote incluye la apuesta que enfrentas. Ganancias extra necesarias = pago ÷ equity − (bote + pago)

Retirarse, pagar o subir: elegir la acción

Precio = pago ÷ (bote con su apuesta + pago): 10 ÷ (30 + 10) = 25%. Paga cuando ganes más a menudo que el precio

Contar outs: limpios y contaminados

Una carta: outs ÷ 47 en el flop, outs ÷ 46 en el turn. Dos cartas: 1 − (47 − outs) ÷ 47 × (46 − outs) ÷ 46. Reglas rápidas: outs × 2% u outs × 4%

Proyectos: manos que cambian

Una carta: outs ÷ 47. Dos cartas: 1 − (47 − outs)/47 × (46 − outs)/46. Regla del 2 y el 4: ≈ 2% o 4% por out

Cartas gratis y protección

Apuesta de equilibrio contra un proyecto en el turn = bote × outs ÷ (46 − 2 × outs): 20 × 9 ÷ 28 = 6,4 bb

Parejas servidas y set mining

Necesario de cada set = 7,5 × pago; necesario después del flop = 7,5 × pago − fichas de otros jugadores en el bote: 7,5 × 3 − 4,5 = 18 bb

Equity y rangos de manos

Dominación: por qué A9 pierde contra AK

Equity = (victorias + empates ÷ 2) ÷ mesas: (407.694 + 79.513 ÷ 2) ÷ 1.712.304 = 26,1%

Conectores del mismo palo y cartas broadway

Extra por palo = equity del mismo palo − equity de distinto palo: 45,4% − 42,3% = 3,1 puntos

Leer manos como distribuciones

Parejas: C(4,2) = 6 combinaciones; manos sin pareja: 4 × 4 = 16 (4 del mismo palo, 12 de distinto palo). Con una carta de ese valor a la vista: parejas 3, sin pareja 3 × 4 = 12

Tu mano contra una distribución

Equity contra un rango = Σ combos(h) × equity contra h ÷ Σ combos(h)

Jugar con precisión con las cartas boca arriba

EV(pagar) = equity × (bote + pago) − pago, con su all-in en el bote; paga cuando equity > pago ÷ (bote + pago)

Valor esperado, apuestas y teoría de juegos

Valor esperado (EV) en poker: cómo evaluar un call

EV = Σ probabilidad × resultado. Pagar: EV = equity × bote − (1 − equity) × pago = equity × (bote + pago) − pago, con su apuesta en el bote

Por qué apostamos: valor y faroles

Un farol tiene que funcionar apuesta ÷ (bote + apuesta) de las veces: 10 ÷ (20 + 10) = 1 de cada 3 = 33,3%

El tamaño de la apuesta como parte del bote

Precio del que paga = apuesta ÷ (bote + 2 × apuesta). Un farol tiene que funcionar apuesta ÷ (bote + apuesta). Medio bote: 15 ÷ 60 = 25% y 15 ÷ 45 = 33,3%

Juegos de media calle y la proporción de faroles

α = s ÷ (1 + s). Faroles por apuesta de valor = α; parte del rango de apuesta que son faroles = α ÷ (1 + α); defensa mínima = 1 − α = 1 ÷ (1 + s)

Teoría de juegos en poker: estrategia óptima y explotadora

Equilibrio: cada estrategia es una mejor respuesta a la otra. Apuesta del tamaño del bote: un farol por cada dos apuestas de valor, así que los faroles son apuesta ÷ (bote antes de la apuesta + 2 × apuesta) = 1 ÷ 3 de las apuestas

El juego AKQ: teoría de juegos del póker con tres cartas

Bote P (más de 1 apuesta), apuesta 1: farol con la Q con frecuencia 1 ÷ (P + 1); paga con el K con frecuencia (P − 1) ÷ (P + 1)

El juego [0,1]: manos continuas

α = 1 ÷ (P + 1). El que paga paga con el mejor c = 2(1 − α) ÷ ((1 + α)(2 − α)); el apostador apuesta por valor el mejor c ÷ 2 y se tira un farol con el peor α × c ÷ 2

El camino al póker: varias calles

Misma fracción f en cada calle: bote × (1 + 2f)^n = bote + 2 × stack

Stacks cortos, torneos y bankroll

Heads-up con ciegas altas: push o fold

EV del push frente a retirarse, stacks de S bb, ciegas de 0,5 y 1: P(retirada) × 1,5 + P(pago) × [equity × 2S − (S − 0,5)]

Torneos: las fichas no son dinero

ICM: P(1.º) = stack ÷ fichas totales, y lo mismo para los puestos restantes; equity = Σ P(puesto) × premio. Equity necesaria para pagar (ICM) = pérdida ÷ (pérdida + ganancia)

Varianza en poker: por qué fluctúan los resultados

Tras N manos: media = tasa de ganancia × N/100; dispersión = 1,96 × DE × √(N/100); tasa de ganancia medida ± 1,96 × DE ÷ √(N/100)

Riesgo de ruina en poker: banca y varianza

Riesgo de ruina ≈ e^(−2 w B ÷ σ²); bankroll para un riesgo objetivo r: B = −σ² × ln(r) ÷ (2w)

Criterio de Kelly en poker: riesgo de tu banca

Fracción de Kelly f* = (b × p − q) ÷ b para odds de b a 1, probabilidad de ganar p, probabilidad de perder q = 1 − p. Crecimiento = p ln(1 + b f) + q ln(1 − f)

Reglas de bankroll: buy-ins, subir y bajar de límite

Buy-ins = bankroll ÷ (100 × ciega grande): 1.000 ÷ (100 × 0,5) = 20. Baja de límite por debajo de regla × 100 × ciega grande