ポーカーの数学：公式、確率、無料の計算ツール

カードと確率

数字で見るデッキ：52枚のカードと1,326通りのスターティングハンド

C(52, 2) = 52 × 51 ÷ 2 = 1,326 通りのスターティングハンド（C(n, k) は n 枚から k 枚を選ぶ方法の数）。 1つの種類：ペア 4 × 3 ÷ 2 = 6、スーテッド 4、オフスート 4 × 3 = 12

ペア、AA、スーテッドハンドが配られる頻度

あるハンドの確率 = そのコンボ数 ÷ 1,326：AA は 6 ÷ 1,326 = 221回に1回、何らかのペアは 78 ÷ 1,326 = 17回に1回

1つのハンドのコンボ：6、4、12

ペア：そのランクの見えていないカードが n 枚なら n × (n − 1) ÷ 2：4 → 6、3 → 3、2 → 1。 ペアでないハンド：一方のランクの見えていない枚数 × もう一方の見えていない枚数：3 × 4 = 12

ポーカーのオッズと確率（%）の換算

a 対 b（不利）= b ÷ (a + b)：4 対 1 = 1 ÷ 5 = 20%。 オッズ = 外れ ÷ 当たり：25%なら外れは75%、75 ÷ 25 = 3 対 1

少なくとも1回：余事象の法則

P（n 回で少なくとも1回）= 1 − (1 − p)ⁿ：100ハンドで AA なら、1 − (220/221)¹⁰⁰ ≈ 1 − 0.635 = 36.5%

フロップで何が来るか：セット、フラッシュドロー、ペア

フロップの数 = C(50, 3) = 50 × 49 × 48 ÷ 6 = 19,600。 少なくとも1回当たる確率 = 1 − 外れのフロップ数 ÷ 19,600：ポケットペアのセットは 1 − 17,296 ÷ 19,600 = 11.8%

10種類の役と、その出やすさ

何ハンドに1回か = 全ハンド数 ÷ その役のハンド数：ロイヤルフラッシュは5枚なら 2,598,960 ÷ 4 = 649,740、7枚なら 133,784,560 ÷ 4,324 = 30,940

ポットオッズとアウツ

ポットオッズとインプライドオッズ

必要エクイティ = コール ÷（ポット + コール）、ポットは直面しているベットを含む。 必要な追加獲得額 = コール ÷ エクイティ −（ポット + コール）

フォールド、コール、レイズ：アクションの選び方

必要エクイティ = コール額 ÷ (相手のベットを含むポット + コール額)：10 ÷ (30 + 10) = 25%。 勝つ頻度が必要エクイティより高ければコール

アウツを数える：クリーンなアウツとダーティーなアウツ

1枚：フロップではアウツ ÷ 47、ターンではアウツ ÷ 46。 2枚：1 − (47 − アウツ) ÷ 47 × (46 − アウツ) ÷ 46。 簡易ルール：アウツ × 2% またはアウツ × 4%

ドローで逆転：変化するハンド

1枚：アウツ ÷ 47。2枚：1 − (47 − アウツ)/47 × (46 − アウツ)/46。2と4のルール：アウツ1枚あたり約2%または4%

フリーカードとプロテクション

ターンでドローに対する損益分岐のベット = ポット × アウツ ÷ (46 − 2 × アウツ)：20 × 9 ÷ 28 = 6.4 bb

ポケットペアとセットマイニング

セット1回ごとに必要な額 = 7.5 × コール額。フロップの後に必要な額 = 7.5 × コール額 − ポットにあるほかのプレイヤーのチップ：7.5 × 3 − 4.5 = 18 bb

エクイティとハンドレンジ

ドミネーション：A9 が AK に負ける理由

エクイティ = (勝ち + 引き分け ÷ 2) ÷ ボード数：(407,694 + 79,513 ÷ 2) ÷ 1,712,304 = 26.1%

スーテッドコネクターとブロードウェイカード

スーテッドの上乗せ = スーテッドのエクイティ − オフスートのエクイティ：45.4% − 42.3% = 3.1ポイント

ハンドを分布として読む

ペア：C(4,2) = 6コンボ；ペアでないハンド：4 × 4 = 16（スーテッド4、オフスート12）。そのランクのカードが1枚見えている場合：ペア3、ペアでないハンド 3 × 4 = 12

分布に対するあなたのハンド

レンジに対するエクイティ = Σ コンボ(h) × h に対するエクイティ ÷ Σ コンボ(h)

カードが公開された状態で正確にプレイする

EV(コール) = エクイティ × (ポット + コール) − コール（ポットは相手のオールインを含む）；エクイティ > コール ÷ (ポット + コール) ならコール

期待値、ベット、ゲーム理論

ポーカーの期待値（EV）：コールの評価方法

EV = Σ 確率 × 結果。 コール：EV = エクイティ × ポット − (1 − エクイティ) × コール = エクイティ × (ポット + コール) − コール（ポットは相手のベットを含む）

なぜベットするのか：バリューとブラフ

ブラフに必要な成功率 = ベット ÷ (ポット + ベット)：10 ÷ (20 + 10) = 3回に1回 = 33.3%

ポットに対する割合で見るベットサイズ

コールする側の必要エクイティ = ベット ÷ (ポット + 2 × ベット)。 ブラフに必要な成功率 = ベット ÷ (ポット + ベット)。 ポットの半分：15 ÷ 60 = 25%、15 ÷ 45 = 33.3%

ハーフストリートゲームとブラフの比率

α = s ÷ (1 + s)。バリューベット1回あたりのブラフ = α；ベットレンジに占めるブラフの割合 = α ÷ (1 + α)；最低ディフェンス = 1 − α = 1 ÷ (1 + s)

ポーカーのゲーム理論：最適戦略とエクスプロイト

均衡：各戦略が相手の戦略に対する最善応答になっている。ポットサイズのベット：バリューベット2回につきブラフ1回、つまりブラフはベット全体の ベット ÷ (ベット前のポット + 2 × ベット) = 1 ÷ 3

AKQ ゲーム：3枚のカードで学ぶポーカーのゲーム理論

ポット P（1ベットより大きい）、ベット1：Q で 1 ÷ (P + 1) の頻度でブラフ；K で (P − 1) ÷ (P + 1) の頻度でコール

[0,1]ゲーム：連続的なハンド

α = 1 ÷ (P + 1)。コーラーは上位 c = 2(1 − α) ÷ ((1 + α)(2 − α)) でコール；ベッターは上位 c ÷ 2 でバリューベットし、下位 α × c ÷ 2 でブラフ

ポーカーへの道：複数のストリート

各ストリートで同じ割合 f：ポット × (1 + 2f)^n = ポット + 2 × スタック

ショートスタック、トーナメント、バンクロール

ブラインドが高いヘッズアップ：プッシュかフォールドか

フォールドと比べたプッシュのEV（スタック S bb、ブラインド 0.5 と 1）= P(フォールド) × 1.5 + P(コール) × [エクイティ × 2S − (S − 0.5)]

トーナメント：チップは現金ではない

ICM：P(1位) = スタック ÷ 総チップ、残りの順位も同様；エクイティ = Σ P(順位) × 賞金。コールに必要なエクイティ（ICM）= 損失 ÷（損失 + 利得）

ポーカーの分散：短期成績が変動する理由

N ハンド後：平均 = 勝率 × N/100；散らばり = 1.96 × SD × √(N/100)；測定された勝率 ± 1.96 × SD ÷ √(N/100)

ポーカーの破産確率：バンクロールと分散

破産リスク ≈ e^(−2 w B ÷ σ²)；目標リスク r のためのバンクロール：B = −σ² × ln(r) ÷ (2w)

ポーカーのケリー基準：バンクロールのリスク

ケリー比率 f* = (b × p − q) ÷ b（オッズ b 対 1、勝率 p、負ける確率 q = 1 − p）。成長 = p ln(1 + b f) + q ln(1 − f)

バンクロールのルール：バイインとステークスの上げ下げ

バイイン回数 = バンクロール ÷ (100 × ビッグブラインド)：1,000 ÷ (100 × 0.5) = 20。 ルール × 100 × ビッグブラインド を下回ったらステークスを下げる