포커 수학: 공식, 확률, 무료 계산기

카드와 확률

숫자로 보는 덱: 카드 52장, 스타팅 핸드 1,326개

스타팅 핸드 C(52, 2) = 52 × 51 ÷ 2 = 1,326, 여기서 C(n, k)는 n장에서 k장을 고르는 방법의 수. 한 종류: 페어 4 × 3 ÷ 2 = 6, 수티드 4, 오프수트 4 × 3 = 12

페어, 에이스 페어, 수티드 핸드를 받는 빈도

핸드를 받을 확률 = 그 핸드의 조합 ÷ 1,326: 에이스 페어 6 ÷ 1,326 = 221번에 1번, 아무 페어 78 ÷ 1,326 = 17번에 1번

한 핸드의 조합: 6, 4, 12

페어: 그 랭크에서 보이지 않는 카드가 n장일 때 n × (n − 1) ÷ 2: 4 → 6, 3 → 3, 2 → 1. 페어가 아닌 핸드: 한 랭크의 보이지 않는 카드 × 다른 랭크의 보이지 않는 카드: 3 × 4 = 12

포커 오즈와 퍼센트 변환

a대 b로 불리 = b ÷ (a + b): 4대 1 = 1 ÷ 5 = 20%. 불리한 오즈 = 실패 ÷ 성공: 25%면 실패 75%, 75 ÷ 25 = 3대 1

적어도 한 번: 여사건 규칙

P(n번 시도 중 적어도 한 번) = 1 − (1 − p)ⁿ: 100핸드 동안 에이스 페어는 1 − (220/221)¹⁰⁰ ≈ 1 − 0.635 = 36.5%

플랍이 가져오는 것: 셋, 플러시 드로우, 페어

플랍 수 = C(50, 3) = 50 × 49 × 48 ÷ 6 = 19,600. 적어도 한 번 맞을 확률 = 1 − 빗나가는 플랍 ÷ 19,600: 포켓 페어의 셋은 1 − 17,296 ÷ 19,600 = 11.8%

족보 10가지와 나오는 빈도

몇 핸드에 하나 = 전체 핸드 ÷ 그 족보의 핸드 수: 로열 플러시는 다섯 장일 때 2,598,960 ÷ 4 = 649,740, 일곱 장일 때 133,784,560 ÷ 4,324 = 30,940

팟 오즈와 아웃츠

팟 오즈와 임플라이드 오즈

필요 에퀴티 = 콜 ÷ (팟 + 콜), 팟에는 마주한 베팅이 포함돼요. 필요한 추가 수익 = 콜 ÷ 에퀴티 − (팟 + 콜)

폴드, 콜, 레이즈: 액션 고르기

가격 = 콜 ÷ (상대 베팅을 포함한 팟 + 콜): 10 ÷ (30 + 10) = 25%. 가격보다 자주 이기면 콜

아웃츠 세기: 클린 아웃츠와 더티 아웃츠

한 장: 플랍에서 아웃츠 ÷ 47, 턴에서 아웃츠 ÷ 46. 두 장: 1 − (47 − 아웃츠) ÷ 47 × (46 − 아웃츠) ÷ 46. 간단한 법칙: 아웃츠 × 2% 또는 아웃츠 × 4%

드로우와 아웃츠: 변하는 핸드

한 장: 아웃츠 ÷ 47. 두 장: 1 − (47 − 아웃츠)/47 × (46 − 아웃츠)/46. 2와 4의 법칙: 아웃츠당 ≈ 2% 또는 4%

프리 카드와 핸드 보호

턴에서 드로우를 상대로 한 손익분기 베팅 = 팟 × 아웃츠 ÷ (46 − 2 × 아웃츠): 20 × 9 ÷ 28 = 6.4 bb

포켓 페어와 셋 마이닝

셋 하나에 필요한 금액 = 7.5 × 콜. 플랍 이후 필요한 금액 = 7.5 × 콜 − 팟에 있는 다른 플레이어들의 칩: 7.5 × 3 − 4.5 = 18 bb

에쿼티와 핸드 레인지

도미네이션: AK에 지는 A9

에퀴티 = (이긴 보드 + 비긴 보드 ÷ 2) ÷ 전체 보드: (407,694 + 79,513 ÷ 2) ÷ 1,712,304 = 26.1%

수티드 커넥터와 브로드웨이 카드

수티드 보너스 = 수티드 에퀴티 − 오프수트 에퀴티: 45.4% − 42.3% = 3.1포인트

핸드를 분포로 읽기

페어: C(4,2) = 6조합; 페어가 아닌 핸드: 4 × 4 = 16(수티드 4, 오프수트 12). 해당 랭크 카드 한 장이 보이면: 페어 3, 페어 아닌 핸드 3 × 4 = 12

분포를 상대로 한 내 핸드

레인지 상대 에퀴티 = Σ 조합(h) × h 상대 에퀴티 ÷ Σ 조합(h)

카드가 공개된 상태에서 정확하게 플레이하기

EV(콜) = 에퀴티 × (팟 + 콜) − 콜, 팟에는 상대의 올인이 포함돼요; 에퀴티 > 콜 ÷ (팟 + 콜)이면 콜

기댓값, 베팅, 게임 이론

포커 기대값(EV): 콜을 평가하는 방법

EV = Σ 확률 × 결과. 콜: EV = 에퀴티 × 팟 − (1 − 에퀴티) × 콜 = 에퀴티 × (팟 + 콜) − 콜, 팟에는 상대 베팅이 포함돼요

베팅하는 이유: 밸류와 블러프

블러프에 필요한 성공 확률 = 베팅 ÷ (팟 + 베팅): 10 ÷ (20 + 10) = 3번에 1번 = 33.3%

팟 대비 비율로 보는 베팅 사이즈

콜러의 가격 = 베팅 ÷ (팟 + 2 × 베팅). 블러프에 필요한 성공 확률 = 베팅 ÷ (팟 + 베팅). 팟의 절반: 15 ÷ 60 = 25%, 15 ÷ 45 = 33.3%

하프 스트리트 게임과 블러프 비율

α = s ÷ (1 + s). 밸류 베팅당 블러프 = α; 베팅 레인지 중 블러프 비율 = α ÷ (1 + α); 최소 방어 = 1 − α = 1 ÷ (1 + s)

포커 게임 이론: 최적 전략과 익스플로잇 전략

균형: 각 전략이 상대 전략에 대한 최선의 대응이에요. 팟 사이즈 베팅: 밸류 베팅 2개당 블러프 1개, 즉 베팅 중 블러프는 베팅 ÷ (베팅 전 팟 + 2 × 베팅) = 1 ÷ 3

AKQ 게임: 카드 세 장으로 보는 포커 게임 이론

팟 P(1베팅 초과), 베팅 1: Q로 1 ÷ (P + 1) 빈도로 블러프; K로 (P − 1) ÷ (P + 1) 빈도로 콜

[0,1] 게임: 연속적인 핸드

α = 1 ÷ (P + 1). 콜러는 상위 c = 2(1 − α) ÷ ((1 + α)(2 − α))로 콜; 베터는 상위 c ÷ 2로 밸류 베팅, 하위 α × c ÷ 2로 블러프

포커로 가는 길: 여러 스트리트

스트리트마다 같은 비율 f: 팟 × (1 + 2f)^n = 팟 + 2 × 스택

숏 스택, 토너먼트, 뱅크롤

블라인드가 높은 헤즈업: 잼 또는 폴드

폴드 대비 잼 EV(스택 S bb, 블라인드 0.5와 1) = P(폴드) × 1.5 + P(콜) × [에퀴티 × 2S − (S − 0.5)]

토너먼트: 칩은 현금이 아니다

ICM: P(1위) = 스택 ÷ 전체 칩, 남은 순위도 같은 방식; 에퀴티 = Σ P(순위) × 상금. 콜에 필요한 에퀴티(ICM) = 손실 ÷ (손실 + 이득)

포커 분산: 단기 성적이 변하는 이유

N핸드 후: 평균 = 윈레이트 × N/100; 퍼짐 = 1.96 × SD × √(N/100); 측정된 윈레이트 ± 1.96 × SD ÷ √(N/100)

포커 파산 위험: 뱅크롤과 분산

파산 위험 ≈ e^(−2 w B ÷ σ²); 목표 위험 r에 필요한 뱅크롤: B = −σ² × ln(r) ÷ (2w)

포커 켈리 기준: 뱅크롤 위험 관리

배당 b대 1, 승률 p, 패율 q = 1 − p일 때 켈리 비율 f* = (b × p − q) ÷ b. 성장 = p ln(1 + b f) + q ln(1 − f)

뱅크롤 규칙: 바이인, 스테이크 올리기와 내리기

바이인 수 = 뱅크롤 ÷ (100 × 빅 블라인드): 1,000 ÷ (100 × 0.5) = 20. 규칙 × 100 × 빅 블라인드 미만이면 스테이크 내리기