Module 3 · Leçon 12 sur 39 · Gratuit

Le paquet en chiffres : 52 cartes, 1 326 mains de départ

Cours de Hernan Alejandro Gajardo Morales

Le paquet peut te distribuer 1 326 couples de cartes privatives différents, mais seulement 169 types de mains qui se jouent différemment. A♠ K♦ et A♥ K♣ sont deux mains différentes du même type : avant le flop, les couleurs ne comptent que lorsque tes deux cartes partagent la même. Compter de combien de façons chaque type peut être distribué est le premier pas pour passer des cartes aux cotes.

La main

Tes cartes privatives : A♠ K♦, un as et un roi de couleurs différentes. Avant le flop, elles se jouent exactement comme A♥ K♣ ou A♣ K♠.

Fais ton pronostic

De combien de façons le paquet peut-il te distribuer un as et un roi ?

1. 8 : il y a 4 as et 4 rois
2. 16 : chacun des 4 as avec chacun des 4 rois
3. 12 : les deux couleurs doivent être différentes

Le calcul pas à pas

Compte d’abord le paquet : 13 rangs × 4 couleurs = 52 cartes. Ta première carte peut être n’importe laquelle des 52 et ta deuxième n’importe laquelle des 51 autres, 52 × 51 = 2 652 façons, mais cela compte chaque main deux fois : A♠ puis K♦, et K♦ puis A♠. Il y a donc 52 × 51 ÷ 2 = 1 326 mains de départ. Une paire prend deux des quatre cartes d’un rang, 4 × 3 ÷ 2 = 6 combinaisons, et les 13 paires font 13 × 6 = 78 mains. Deux rangs différents peuvent être choisis de 13 × 12 ÷ 2 = 78 façons, et chacun de ces couples de rangs existe en version assortie, en 4 combinaisons, une par couleur, et en version dépareillée, en 4 × 3 = 12. Au total, 78 + 78 × 4 + 78 × 12 = 78 + 312 + 936 = 1 326.

Compte n’importe quel groupe de mains de la même façon, type par type. Les mains avec au moins un as se comptent plus vite par l’autre bout : les mains sans as n’utilisent que les 48 autres cartes, 48 × 47 ÷ 2 = 1 128, donc 1 326 − 1 128 = 198 mains contiennent au moins un as. Sur la grille 13 × 13 des mains de départ, les paires suivent la diagonale, les mains assorties sont au-dessus et les mains dépareillées en dessous. Chaque case est un type, mais les cases ne se valent pas : une case dépareillée contient 12 mains, une paire 6 et une case assortie seulement 4.

Formule

C(52, 2) = 52 × 51 ÷ 2 = 1 326 mains de départ, où C(n, k) compte les façons de choisir k cartes parmi n. Un type : paire 4 × 3 ÷ 2 = 6, assortie 4, dépareillée 4 × 3 = 12

Vérifie ta compréhension

1. Combien des 1 326 mains de départ contiennent au moins un cœur ?

   Voir la réponse

   Réponse : 585

   Les mains sans cœur n’utilisent que les 39 autres cartes : 39 × 38 ÷ 2 = 741. Donc 1 326 − 741 = 585 mains contiennent au moins un cœur.

2. Un joueur ne relance avant le flop qu’avec QQ, AKs et AQo. Combien de combinaisons cela fait-il ?

   Voir la réponse

   Réponse : 22

   QQ est une paire, 6. AKs est assortie, 4. AQo est dépareillée, 12. Au total, 6 + 4 + 12 = 22.

3. J♠ T♠ et J♥ T♥ : qu’est-ce que c’est ?

   1. Deux combinaisons d’un même type, JTs
   2. Deux types de mains différents
   3. Deux noms pour la même combinaison
   Voir la réponse

   Réponse : Deux combinaisons d’un même type, JTs

   Les deux sont un valet et un dix d’une même couleur : deux des 4 combinaisons de JTs, qui est l’un des 169 types.