Module 3 · Leçon 17 sur 39 · Gratuit
Au moins une fois : la règle du complément
Sur 100 mains, tu ne reçois une paire d’as au moins une fois que 36,5 % du temps. Additionner 100 chances de 1 sur 221 donnerait 45 %, mais les probabilités de mains séparées ne s’additionnent pas ainsi. Trouve la probabilité que cela n’arrive jamais et retranche-la de 1 : c’est la règle du complément.
La main
Main 100 de ta session, et toujours pas d’as : cette fois K♣ 7♦. Chaque donne suit un nouveau mélange, avec une paire d’as 1 fois sur 221.
Fais ton pronostic
De combien de mains as-tu besoin pour avoir une chance sur deux de recevoir une paire d’as au moins une fois ?
- Environ 111 : la moitié de 221
- Environ 153 : les échecs se multiplient
- 221 : les as arrivent une fois toutes les 221 mains
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Réponse : Environ 153 : les échecs se multiplient
La probabilité de ne pas recevoir d’as en n mains est (220/221)ⁿ, car les échecs se multiplient. Elle passe pour la première fois sous la moitié à 153 mains : 1 − (220/221)¹⁵³ ≈ 50,04 %. Même après 221 mains, la probabilité d’au moins une paire d’as n’est que de 63,3 %.
Le calcul pas à pas
Une main sans as arrive 220 fois sur 221. Deux mains de ce genre à la suite arrivent 220/221 × 220/221 du temps, car les donnes sont indépendantes : la première ne te dit rien sur la deuxième. Sur 100 mains, les échecs se multiplient 100 fois : (220/221)¹⁰⁰ ≈ 0,635, donc 63,5 % des sessions de 100 mains ne voient aucune paire d’as. Le reste, 1 − 0,635 = 36,5 %, en voit au moins une. La même règle vaut pour tout : une paire servie arrive 1 main sur 17, donc en 10 mains, tu en vois au moins une 1 − (16/17)¹⁰ ≈ 1 − 0,545 = 45,5 % du temps.
La règle du complément répond à toutes les questions du type « au moins une fois » : au moins une paire servie dans les dix prochaines mains, au moins un set avec tes cinq prochaines paires servies. Trouve la probabilité que cela n’arrive jamais, multiplie-la une fois pour chaque essai, et retranche le résultat de 1. Quand les essais sont des cartes d’un même paquet, comme les trois cartes d’un flop, la probabilité d’échec change à chaque carte, et ce sont alors ces probabilités-là qu’il faut multiplier. Cette règle te dit aussi combien de temps attendre : recevoir des as au moins une fois ne devient plus probable que l’inverse qu’après 153 mains, et même 500 mains laissent 10,4 % de chances de n’en recevoir aucune.
Formule
P(au moins une fois en n essais) = 1 − (1 − p)ⁿ : des as en 100 mains, 1 − (220/221)¹⁰⁰ ≈ 1 − 0,635 = 36,5 %
Vérifie ta compréhension
Ton tirage couleur rentre 1 fois sur 5. Tu en as un sur 4 mains différentes. Quelle est la probabilité qu’il rentre au moins une fois, en % ?
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Réponse : 59%
À chaque fois, il rate 4 fois sur 5 : 0,8⁴ = 0,4096 est la probabilité de quatre échecs, donc 1 − 0,4096 = 59,0 %.
Tu es à tapis trois fois, chaque fois sur un pile ou face que tu gagnes une fois sur deux. Quelle est la probabilité de perdre les trois, en % ?
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Réponse : 12,5%
Des probabilités indépendantes se multiplient : 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125, soit 12,5 %.
Tu joues 30 mains par jour. Pourquoi la probabilité d’au moins une paire d’as dans la journée est-elle inférieure à 30 ÷ 221 = 13,6 % ?
- L’addition compte une journée avec deux paires d’as comme deux journées chanceuses
- Les as sont moins probables juste après que tu les as eus
- Les as arrivent moins souvent à une table complète
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Réponse : L’addition compte une journée avec deux paires d’as comme deux journées chanceuses
Les probabilités de mains séparées ne s’additionnent pas. Le bon chiffre est 1 − (220/221)³⁰ ≈ 12,7 % ; la somme compte plusieurs fois chaque journée avec deux paires d’as ou plus.