Matemática do poker: fórmulas, probabilidades e calculadoras grátis

Cartas e probabilidade

O baralho em números: 52 cartas, 1.326 mãos iniciais

C(52, 2) = 52 × 51 ÷ 2 = 1.326 mãos iniciais, onde C(n, k) conta as formas de escolher k cartas entre n. Um tipo: par 4 × 3 ÷ 2 = 6, suited 4, offsuit 4 × 3 = 12

Com que frequência você recebe um par, ases ou uma mão suited

Chance de uma mão = suas combinações ÷ 1.326: ases 6 ÷ 1.326 = 1 em 221, qualquer par 78 ÷ 1.326 = 1 em 17

As combinações de uma mão: 6, 4 e 12

Par: n × (n − 1) ÷ 2, com n cartas não vistas do seu valor: 4 → 6, 3 → 3, 2 → 1. Sem par: não vistas de um valor × não vistas do outro: 3 × 4 = 12

Odds e porcentagens no poker: como converter

a para b contra = b ÷ (a + b): 4 para 1 = 1 ÷ 5 = 20%. Odds contra = erros ÷ acertos: 25% erra 75%, 75 ÷ 25 = 3 para 1

Pelo menos uma vez: a regra do complemento

P(pelo menos uma vez em n tentativas) = 1 − (1 − p)ⁿ: ases em 100 mãos, 1 − (220/221)¹⁰⁰ ≈ 1 − 0,635 = 36,5%

O que o flop traz: sets, flush draws e pares

Flops = C(50, 3) = 50 × 49 × 48 ÷ 6 = 19.600. Pelo menos um acerto = 1 − flops que erram ÷ 19.600: um set com par de mão 1 − 17.296 ÷ 19.600 = 11,8%

As dez categorias de mão e com que frequência elas saem

Uma mão a cada quantas = todas as mãos ÷ mãos da categoria: um royal flush é 2.598.960 ÷ 4 = 649.740 com cinco cartas e 133.784.560 ÷ 4.324 = 30.940 com sete

Pot odds e outs

Pot odds e odds implícitas

Equity necessária = call ÷ (pote + call), onde o pote inclui a aposta que você enfrenta. Ganho extra necessário = call ÷ equity − (pote + call)

Desistir, pagar ou aumentar: como escolher a ação

Preço = call ÷ (pote com a aposta dele + call): 10 ÷ (30 + 10) = 25%. Pague quando você ganha com mais frequência que o preço

Contando outs: limpos e contaminados

Uma carta: outs ÷ 47 no flop, outs ÷ 46 no turn. Duas cartas: 1 − (47 − outs) ÷ 47 × (46 − outs) ÷ 46. Regras rápidas: outs × 2% ou outs × 4%

Virando o jogo: mãos que mudam

Uma carta: outs ÷ 47. Duas cartas: 1 − (47 − outs)/47 × (46 − outs)/46. Regra do 2 e do 4: ≈ 2% ou 4% por out

Cartas grátis e proteção

Aposta de equilíbrio contra um draw no turn = pote × outs ÷ (46 − 2 × outs): 20 × 9 ÷ 28 = 6,4 bb

Pares de mão e set mining

Necessário de cada set = 7,5 × call; necessário depois do flop = 7,5 × call − fichas dos outros jogadores no pote: 7,5 × 3 − 4,5 = 18 bb

Equidade e ranges de mãos

Dominação: por que A9 perde para AK

Equity = (vitórias + empates ÷ 2) ÷ boards: (407.694 + 79.513 ÷ 2) ÷ 1.712.304 = 26,1%

Suited connectors e cartas broadway

Bônus do suited = equity suited − equity offsuit: 45,4% − 42,3% = 3,1 pontos

Lendo mãos como distribuições

Pares: C(4,2) = 6 combinações; mãos sem par: 4 × 4 = 16 (4 suited, 12 offsuit). Com uma carta do valor à vista: pares 3, sem par 3 × 4 = 12

Sua mão contra uma distribuição

Equity vs range = Σ combos(h) × equity vs h ÷ Σ combos(h)

Jogando com precisão com as cartas viradas para cima

EV(pagar) = equity × (pote + call) − call, com o all-in dele no pote; pague quando equity > call ÷ (pote + call)

Valor esperado, apostas e teoria dos jogos

Valor esperado (EV) no poker: como avaliar um call

EV = Σ probabilidade × resultado. Pagar: EV = equity × pote − (1 − equity) × call = equity × (pote + call) − call, com a aposta dele no pote

Por que apostamos: valor e blefes

Um blefe precisa funcionar aposta ÷ (pote + aposta) das vezes: 10 ÷ (20 + 10) = 1 em 3 = 33,3%

Tamanhos de aposta como fração do pote

Preço de quem paga = aposta ÷ (pote + 2 × aposta). Um blefe precisa funcionar aposta ÷ (pote + aposta). Meio pote: 15 ÷ 60 = 25% e 15 ÷ 45 = 33,3%

Jogos de meia rua e a proporção de blefe

α = s ÷ (1 + s). Blefes por aposta de valor = α; fração de blefes no range de aposta = α ÷ (1 + α); defesa mínima = 1 − α = 1 ÷ (1 + s)

Teoria dos jogos no poker: estratégia ótima e exploratória

Equilíbrio: cada estratégia é a melhor resposta à outra. Aposta do tamanho do pote: um blefe para cada duas apostas de valor, então os blefes são aposta ÷ (pote antes da aposta + 2 × aposta) = 1 ÷ 3 das apostas

O jogo AKQ: teoria dos jogos no poker com três cartas

Pote P (mais de 1 aposta), aposta 1: blefe com o Q com frequência 1 ÷ (P + 1); pague com o K com frequência (P − 1) ÷ (P + 1)

O jogo [0,1]: mãos contínuas

α = 1 ÷ (P + 1). Quem paga dá call com as melhores c = 2(1 − α) ÷ ((1 + α)(2 − α)); o apostador aposta por valor com as melhores c ÷ 2 e blefa com as piores α × c ÷ 2

O caminho até o poker: várias ruas

Mesma fração f em cada rua: pote × (1 + 2f)^n = pote + 2 × stack

Stacks curtos, torneios e bankroll

Heads-up com blinds altos: push ou fold

EV do shove comparado a desistir, stacks de S bb, blinds de 0,5 e 1: P(fold) × 1,5 + P(call) × [equity × 2S − (S − 0,5)]

Torneios: fichas não são dinheiro

ICM: P(1º) = stack ÷ total de fichas, depois o mesmo para as posições restantes; equity = Σ P(posição) × prêmio. Equity necessária para pagar (ICM) = perda ÷ (perda + ganho)

Variância no poker: por que os resultados oscilam

Após N mãos: média = win rate × N/100; dispersão = 1,96 × DP × √(N/100); win rate medida ± 1,96 × DP ÷ √(N/100)

Risco de ruína no poker: bankroll e variância

Risco de ruína ≈ e^(−2 w B ÷ σ²); bankroll para um risco alvo r: B = −σ² × ln(r) ÷ (2w)

Critério de Kelly no poker: risco do bankroll

Fração de Kelly f* = (b × p − q) ÷ b para odds de b para 1, chance de ganhar p, chance de perder q = 1 − p. Crescimento = p ln(1 + b f) + q ln(1 − f)

Regras de bankroll: buy-ins, subir e descer de limite

Buy-ins = bankroll ÷ (100 × big blind): 1.000 ÷ (100 × 0,5) = 20. Desça de limite abaixo de regra × 100 × big blind