Poker-Mathematik: Formeln, Wahrscheinlichkeiten und kostenlose Rechner

Karten und Wahrscheinlichkeit

Ein Deck in Zahlen: 52 Karten, 1.326 Starthände

C(52, 2) = 52 × 51 ÷ 2 = 1.326 Starthände, wobei C(n, k) die Möglichkeiten zählt, k Karten aus n zu wählen. Ein Handtyp: Paar 4 × 3 ÷ 2 = 6, suited 4, offsuit 4 × 3 = 12

Wie oft du ein Paar, Asse oder eine suited Hand bekommst

Chance auf eine Hand = ihre Kombinationen ÷ 1.326: Asse 6 ÷ 1.326 = 1 von 221, irgendein Paar 78 ÷ 1.326 = 1 von 17

Kombinationen einer Hand: 6, 4 und 12

Paar: n × (n − 1) ÷ 2 bei n ungesehenen Karten seines Rangs: 4 → 6, 3 → 3, 2 → 1. Ungepaart: ungesehene des einen Rangs × ungesehene des anderen: 3 × 4 = 12

Odds und Prozente beim Poker: so rechnest du um

a zu b dagegen = b ÷ (a + b): 4 zu 1 = 1 ÷ 5 = 20%. Odds dagegen = Fehlschläge ÷ Treffer: 25% verfehlt in 75%, 75 ÷ 25 = 3 zu 1

Mindestens einmal: die Gegenwahrscheinlichkeit

P(mindestens einmal in n Versuchen) = 1 − (1 − p)ⁿ: Asse in 100 Händen, 1 − (220/221)¹⁰⁰ ≈ 1 − 0,635 = 36,5%

Was der Flop bringt: Sets, Flush Draws und Paare

Flops = C(50, 3) = 50 × 49 × 48 ÷ 6 = 19.600. Mindestens ein Treffer = 1 − Fehlschläge ÷ 19.600: ein Set mit einem Pocket Pair 1 − 17.296 ÷ 19.600 = 11,8%

Die zehn Handränge und wie oft sie vorkommen

Eine Hand von wie vielen = alle Hände ÷ Hände dieses Rangs: Ein Royal Flush ist mit fünf Karten 2.598.960 ÷ 4 = 649.740, mit sieben 133.784.560 ÷ 4.324 = 30.940

Pot Odds und Outs

Pot Odds und Implied Odds

Nötige Equity = Call ÷ (Pot + Call), wobei der Pot die Bet enthält, der du gegenüberstehst. Nötige Zusatzgewinne = Call ÷ Equity − (Pot + Call)

Fold, Call oder Raise: die Aktion wählen

Preis = Call ÷ (Pot mit seiner Bet + Call): 10 ÷ (30 + 10) = 25%. Calle, wenn du öfter gewinnst, als der Preis verlangt

Outs zählen: saubere und unsaubere

Eine Karte: Outs ÷ 47 auf dem Flop, Outs ÷ 46 auf dem Turn. Zwei Karten: 1 − (47 − Outs) ÷ 47 × (46 − Outs) ÷ 46. Schnelle Regeln: Outs × 2% oder Outs × 4%

Draws und Outs: Hände, die sich verändern

Eine Karte: Outs ÷ 47. Zwei Karten: 1 − (47 − Outs)/47 × (46 − Outs)/46. 2er- und 4er-Regel: ≈ 2% bzw. 4% pro Out

Freecards und Protection

Break-even-Bet gegen einen Draw auf dem Turn = Pot × Outs ÷ (46 − 2 × Outs): 20 × 9 ÷ 28 = 6,4 bb

Pocket Pairs und Set Mining

Nötig aus jedem Set = 7,5 × Call; nötig nach dem Flop = 7,5 × Call − Chips anderer Spieler im Pot: 7,5 × 3 − 4,5 = 18 bb

Equity und Hand-Ranges

Dominanz: warum A9 gegen AK verliert

Equity = (Gewinne + Splits ÷ 2) ÷ Boards: (407.694 + 79.513 ÷ 2) ÷ 1.712.304 = 26,1%

Suited Connectors und Broadway-Karten

Suited-Bonus = Equity suited − Equity offsuit: 45,4% − 42,3% = 3,1 Punkte

Hände als Verteilungen lesen

Paare: C(4,2) = 6 Kombinationen; ungepaarte Hände: 4 × 4 = 16 (4 suited, 12 offsuit). Eine Karte eines Rangs sichtbar: Paare 3, ungepaarte 3 × 4 = 12

Deine Hand gegen eine Verteilung

Equity vs. Range = Σ Combos(h) × Equity vs. h ÷ Σ Combos(h)

Genau spielen mit offenen Karten

EV(Call) = Equity × (Pot + Call) − Call, mit seinem All-in im Pot; callen, wenn Equity > Call ÷ (Pot + Call)

Erwartungswert, Setzen und Spieltheorie

Erwartungswert (EV) beim Poker: einen Call bewerten

EV = Σ Wahrscheinlichkeit × Ergebnis. Callen: EV = Equity × Pot − (1 − Equity) × Call = Equity × (Pot + Call) − Call, mit seiner Bet im Pot

Warum wir betten: Value und Bluffs

Ein Bluff muss in Bet ÷ (Pot + Bet) der Fälle funktionieren: 10 ÷ (20 + 10) = 1 von 3 = 33,3%

Bet-Größen als Anteil am Pot

Preis des Callers = Bet ÷ (Pot + 2 × Bet). Ein Bluff muss in Bet ÷ (Pot + Bet) der Fälle funktionieren. Halber Pot: 15 ÷ 60 = 25% und 15 ÷ 45 = 33,3%

Half-Street-Spiele und das Bluff-Verhältnis

α = s ÷ (1 + s). Bluffs pro Value-Bet = α; Bluff-Anteil der Betting-Range = α ÷ (1 + α); Mindestverteidigung = 1 − α = 1 ÷ (1 + s)

Spieltheorie beim Poker: optimal und exploitativ spielen

Gleichgewicht: Jede Strategie ist eine beste Antwort auf die andere. Pot-Size-Bet: ein Bluff auf zwei Value-Bets, also sind Bluffs Bet ÷ (Pot vor der Bet + 2 × Bet) = 1 ÷ 3 der Bets

Das AKQ-Spiel: Poker-Spieltheorie mit drei Karten

Pot P (mehr als 1 Bet), Bet 1: Bluffe die Q mit Frequenz 1 ÷ (P + 1); calle mit dem K mit Frequenz (P − 1) ÷ (P + 1)

Das [0,1]-Spiel: kontinuierliche Hände

α = 1 ÷ (P + 1). Der Caller callt mit den besten c = 2(1 − α) ÷ ((1 + α)(2 − α)); der Setzende bettet die besten c ÷ 2 für Value und blufft die schlechtesten α × c ÷ 2

Der Weg zum Poker: mehrere Streets

Gleicher Anteil f auf jeder Street: Pot × (1 + 2f)^n = Pot + 2 × Stack

Kurze Stacks, Turniere und Bankroll

Heads-up mit hohen Blinds: Push or Fold

Jam-EV gegenüber Folden, Stacks S bb, Blinds 0,5 und 1: P(Fold) × 1,5 + P(Call) × [Equity × 2S − (S − 0,5)]

Turniere: Chips sind kein Bargeld

ICM: P(1.) = Stack ÷ alle Chips, dann dasselbe für die übrigen Plätze; Equity = Σ P(Platz) × Preis. Nötige Equity zum Callen (ICM) = Verlust ÷ (Verlust + Gewinn)

Varianz beim Poker: warum Ergebnisse schwanken

Nach N Händen: Mittelwert = Winrate × N/100; Streuung = 1,96 × SD × √(N/100); gemessene Winrate ± 1,96 × SD ÷ √(N/100)

Ruinrisiko beim Poker: Bankroll und Varianz

Risk of Ruin ≈ e^(−2 w B ÷ σ²); Bankroll für ein Zielrisiko r: B = −σ² × ln(r) ÷ (2w)

Kelly-Kriterium beim Poker: Bankroll-Risiko

Kelly-Anteil f* = (b × p − q) ÷ b bei Quote b zu 1, Gewinnchance p, Verlustchance q = 1 − p. Wachstum = p ln(1 + b f) + q ln(1 − f)

Bankroll-Regeln: Buy-ins, Aufsteigen und Absteigen

Buy-ins = Bankroll ÷ (100 × Big Blind): 1.000 ÷ (100 × 0,5) = 20. Absteigen unter Regel × 100 × Big Blind