Математика покера: формулы, вероятности и бесплатные калькуляторы

Карты и вероятность

Колода в числах: 52 карты, 1 326 стартовых рук

C(52, 2) = 52 × 51 ÷ 2 = 1 326 стартовых рук, где C(n, k) — число способов выбрать k карт из n. Один тип: пара 4 × 3 ÷ 2 = 6, одномастная рука 4, разномастная 4 × 3 = 12

Как часто тебе сдают пару, тузы или одномастную руку

Вероятность руки = её комбинации ÷ 1 326: тузы 6 ÷ 1 326 = 1 из 221, любая пара 78 ÷ 1 326 = 1 из 17

Комбинации одной руки: 6, 4 и 12

Пара: n × (n − 1) ÷ 2, где n — невидимые карты её достоинства: 4 → 6, 3 → 3, 2 → 1. Непарная рука: невидимые одного достоинства × невидимые другого: 3 × 4 = 12

Шансы и проценты в покере: как их переводить

a к b против = b ÷ (a + b): 4 к 1 = 1 ÷ 5 = 20%. Шансы против = промахи ÷ попадания: при 25% промахов 75%, 75 ÷ 25 = 3 к 1

Хотя бы раз: правило противоположного события

P(хотя бы раз за n попыток) = 1 − (1 − p)ⁿ: тузы за 100 раздач, 1 − (220/221)¹⁰⁰ ≈ 1 − 0,635 = 36,5%

Что приносит флоп: сеты, флеш-дро и пары

Флопы = C(50, 3) = 50 × 49 × 48 ÷ 6 = 19 600. Хотя бы одно попадание = 1 − промахи ÷ 19 600: сет с карманной парой 1 − 17 296 ÷ 19 600 = 11,8%

Десять комбинаций и как часто они выпадают

Одна рука из скольких = все руки ÷ руки этой комбинации: роял-флеш — это 2 598 960 ÷ 4 = 649 740 при пяти картах и 133 784 560 ÷ 4 324 = 30 940 при семи

Шансы банка и ауты

Шансы банка (пот-оддсы) и подразумеваемые шансы

Нужное эквити = колл ÷ (банк + колл), где банк включает ставку против тебя. Нужный дополнительный выигрыш = колл ÷ эквити − (банк + колл)

Фолд, колл или рейз: выбор действия

Цена = колл ÷ (банк с его ставкой + колл): 10 ÷ (30 + 10) = 25%. Коллируй, когда выигрываешь чаще, чем требует цена

Считаем ауты: чистые и грязные

Одна карта: ауты ÷ 47 на флопе, ауты ÷ 46 на тёрне. Две карты: 1 − (47 − ауты) ÷ 47 × (46 − ауты) ÷ 46. Быстрые правила: ауты × 2% или ауты × 4%

Доезды: руки, которые меняются

Одна карта: ауты ÷ 47. Две карты: 1 − (47 − ауты)/47 × (46 − ауты)/46. Правило 2 и 4: ≈ 2% или 4% на аут

Бесплатные карты и защита

Ставка безубыточности против дро на тёрне = банк × ауты ÷ (46 − 2 × ауты): 20 × 9 ÷ 28 = 6,4 bb

Карманные пары и игра на сет

Нужно с каждого сета = 7,5 × колл; нужно после флопа = 7,5 × колл − чужие фишки в банке: 7,5 × 3 − 4,5 = 18 bb

Эквити и диапазоны рук

Доминирование: почему A9 проигрывает AK

Эквити = (выигрыши + ничьи ÷ 2) ÷ борды: (407 694 + 79 513 ÷ 2) ÷ 1 712 304 = 26,1%

Одномастные коннекторы и бродвейные карты

Прибавка за одномастность = эквити одномастной − эквити разномастной: 45,4% − 42,3% = 3,1 пункта

Чтение рук: диапазон как распределение

Пары: C(4,2) = 6 комбинаций; непарные руки: 4 × 4 = 16 (4 одномастные, 12 разномастных). Если видна одна карта этого достоинства: пары 3, непарные 3 × 4 = 12

Твоя рука против диапазона

Эквити против диапазона = Σ комбо(h) × эквити против h ÷ Σ комбо(h)

Точная игра с открытыми картами

EV(колл) = эквити × (банк + колл) − колл, где банк включает его олл-ин; коллируй, когда эквити > колл ÷ (банк + колл)

Матожидание, ставки и теория игр

Математическое ожидание (EV) в покере: оценка колла

EV = Σ вероятность × результат. Колл: EV = эквити × банк − (1 − эквити) × колл = эквити × (банк + колл) − колл, где банк включает его ставку

Зачем ставить: вэлью и блеф

Блеф должен срабатывать в доле случаев ставка ÷ (банк + ставка): 10 ÷ (20 + 10) = 1 из 3 = 33,3%

Размер ставки как доля банка

Цена для коллирующего = ставка ÷ (банк + 2 × ставка). Блеф должен срабатывать в доле ставка ÷ (банк + ставка). Половина банка: 15 ÷ 60 = 25% и 15 ÷ 45 = 33,3%

Игры на половину улицы и соотношение блефов

α = s ÷ (1 + s). Блефов на вэлью-ставку = α; доля блефов в диапазоне ставок = α ÷ (1 + α); минимальная защита = 1 − α = 1 ÷ (1 + s)

Теория игр в покере: оптимальная и эксплуатирующая стратегия

Равновесие: каждая стратегия — наилучший ответ на другую. Ставка в размер банка: один блеф на две вэлью-ставки, то есть блефы составляют ставка ÷ (банк до ставки + 2 × ставка) = 1 ÷ 3 ставок

Игра AKQ: теория игр в покере на трёх картах

Банк P (больше 1 ставки), ставка 1: блефуй с Q с частотой 1 ÷ (P + 1); коллируй с K с частотой (P − 1) ÷ (P + 1)

Игра [0,1]: непрерывные руки

α = 1 ÷ (P + 1). Коллер коллирует лучшими c = 2(1 − α) ÷ ((1 + α)(2 − α)); ставящий ставит на вэлью лучшими c ÷ 2 и блефует худшими α × c ÷ 2

Дорога к покеру: несколько улиц

Одна и та же доля f на каждой улице: банк × (1 + 2f)^n = банк + 2 × стек

Короткие стеки, турниры и банкролл

Хедз-ап с высокими блайндами: пуш или фолд

EV пуша по сравнению с фолдом, стеки S bb, блайнды 0,5 и 1: P(фолд) × 1,5 + P(колл) × [эквити × 2S − (S − 0,5)]

Турниры: фишки — не деньги

ICM: P(1-е) = стек ÷ всего фишек, затем то же для остальных мест; эквити = Σ P(место) × приз. Нужное эквити для колла (ICM) = потеря ÷ (потеря + выигрыш)

Дисперсия в покере: почему результаты колеблются

После N раздач: среднее = винрейт × N/100; разброс = 1,96 × SD × √(N/100); измеренный винрейт ± 1,96 × SD ÷ √(N/100)

Риск разорения в покере: банкролл и дисперсия

Риск разорения ≈ e^(−2 w B ÷ σ²); банкролл для целевого риска r: B = −σ² × ln(r) ÷ (2w)

Критерий Келли в покере: риск для банкролла

Доля Келли f* = (b × p − q) ÷ b при коэффициенте b к 1, шансе выигрыша p и шансе проигрыша q = 1 − p. Рост = p ln(1 + b f) + q ln(1 − f)

Правила банкролла: бай-ины, подъём и спуск по лимитам

Бай-ины = банкролл ÷ (100 × большой блайнд): 1 000 ÷ (100 × 0,5) = 20. Спуск при банкролле ниже: правило × 100 × большой блайнд