扑克数学：公式、概率与免费计算器

牌与概率

用数字看一副牌：52 张牌，1,326 种起手牌

C(52, 2) = 52 × 51 ÷ 2 = 1,326 种起手牌，其中 C(n, k) 表示从 n 张牌中选 k 张的方式数。 一种类型：对子 4 × 3 ÷ 2 = 6，同花 4，非同花 4 × 3 = 12

拿到对子、一对 A 或同花牌的频率

一手牌的概率 = 它的组合数 ÷ 1,326：一对 A 为 6 ÷ 1,326 = 221 分之 1，任意对子为 78 ÷ 1,326 = 17 分之 1

一手牌的组合：6、4 和 12

对子：n × (n − 1) ÷ 2，n 为该点数看不到的牌数：4 → 6，3 → 3，2 → 1。 非对子：一个点数看不到的牌数 × 另一个点数看不到的牌数：3 × 4 = 12

扑克赔率与百分比的换算

不利赔率 a 赔 b = b ÷ (a + b)：4 赔 1 = 1 ÷ 5 = 20%。 不利赔率 = 落空次数 ÷ 击中次数：25% 有 75% 落空，75 ÷ 25 = 3 赔 1

至少一次：补集法则

P(n 次尝试中至少一次) = 1 − (1 − p)ⁿ：100 手牌中拿到 AA，1 − (220/221)¹⁰⁰ ≈ 1 − 0.635 = 36.5%

翻牌会带来什么：暗三条、同花听牌和对子

翻牌数 = C(50, 3) = 50 × 49 × 48 ÷ 6 = 19,600。 至少击中一次 = 1 − 没中的翻牌数 ÷ 19,600：口袋对子中暗三条为 1 − 17,296 ÷ 19,600 = 11.8%

十种牌型及其出现频率

每多少手出现一次 = 全部组合数 ÷ 该牌型的组合数：五张牌时皇家同花顺为 2,598,960 ÷ 4 = 649,740，七张牌时为 133,784,560 ÷ 4,324 = 30,940

底池赔率与补牌

底池赔率与隐含赔率

所需胜率 = 跟注额 ÷ (底池 + 跟注额)，其中底池包含你面对的下注。 需要额外赢得的数额 = 跟注额 ÷ 胜率 − (底池 + 跟注额)

弃牌、跟注还是加注：选择行动

价格 = 跟注额 ÷ (含他下注的底池 + 跟注额)：10 ÷ (30 + 10) = 25%。 获胜频率高于价格时跟注

数补牌：干净补牌与有瑕疵的补牌

一张牌：翻牌圈为补牌数 ÷ 47，转牌圈为补牌数 ÷ 46。 两张牌：1 − (47 − 补牌数) ÷ 47 × (46 − 补牌数) ÷ 46。 快速法则：补牌数 × 2% 或补牌数 × 4%

追牌：会变化的手牌

一张牌：补牌 ÷ 47。 两张牌：1 − (47 − 补牌)/47 × (46 − 补牌)/46。 2 倍和 4 倍法则：每张补牌约 2% 或 4%

免费牌与保护

转牌圈对抗听牌的盈亏平衡下注 = 底池 × 补牌数 ÷ (46 − 2 × 补牌数)：20 × 9 ÷ 28 = 6.4 bb

口袋对子与博暗三条

每次中暗三条需要赢 = 7.5 × 跟注额；翻牌后需要赢 = 7.5 × 跟注额 − 底池中其他玩家的筹码：7.5 × 3 − 4.5 = 18 bb

权益与手牌范围

压制：为什么 A9 会输给 AK

胜率 = (获胜数 + 平分数 ÷ 2) ÷ 牌面数：(407,694 + 79,513 ÷ 2) ÷ 1,712,304 = 26.1%

同花连张与百老汇牌

同花加成 = 同花时的胜率 − 非同花时的胜率：45.4% − 42.3% = 3.1 个百分点

把读牌看作概率分布

对子：C(4,2) = 6 个组合；非对子：4 × 4 = 16（同花 4 个，非同花 12 个）。某点数可见一张时：对子 3 个，非对子 3 × 4 = 12 个

你的手牌对抗一个分布

对范围的胜率 = Σ 组合数(h) × 对 h 的胜率 ÷ Σ 组合数(h)

明牌时的精确打法

EV(跟注) = 胜率 × (底池 + 跟注额) − 跟注额，底池包含他的全下；胜率 > 跟注额 ÷ (底池 + 跟注额) 时跟注

期望值、下注与博弈论

扑克期望值（EV）：如何评估跟注

EV = Σ 概率 × 结果。 跟注：EV = 胜率 × 底池 − (1 − 胜率) × 跟注额 = 胜率 × (底池 + 跟注额) − 跟注额，底池包含他的下注

为什么下注：价值与诈唬

诈唬的成功率必须达到 下注 ÷ (底池 + 下注)：10 ÷ (20 + 10) = 1/3 = 33.3%

用底池比例看下注大小

跟注方的价格 = 下注 ÷ (底池 + 2 × 下注)。 诈唬的成功率必须达到 下注 ÷ (底池 + 下注)。 半池：15 ÷ 60 = 25%，15 ÷ 45 = 33.3%

半街游戏与诈唬比例

α = s ÷ (1 + s)。 每次价值下注对应的诈唬数 = α； 下注范围中诈唬的占比 = α ÷ (1 + α)； 最小防守 = 1 − α = 1 ÷ (1 + s)

扑克博弈论：最优策略与剥削策略

均衡：每个策略都是对另一方策略的最佳应对。满池下注：每两次价值下注配一次诈唬，所以诈唬占下注的 下注 ÷ (下注前的底池 + 2 × 下注) = 1 ÷ 3

AKQ 游戏：用三张牌理解扑克博弈论

底池 P（大于 1 个下注），下注 1：用 Q 以 1 ÷ (P + 1) 的频率诈唬；用 K 以 (P − 1) ÷ (P + 1) 的频率跟注

[0,1] 游戏：连续的手牌

α = 1 ÷ (P + 1)。 跟注方用最好的 c = 2(1 − α) ÷ ((1 + α)(2 − α)) 跟注； 下注方用最好的 c ÷ 2 做价值下注，用最差的 α × c ÷ 2 诈唬

通向真实扑克：多条街

每条街相同比例 f：底池 × (1 + 2f)^n = 底池 + 2 × 筹码

短筹码、锦标赛与资金管理

高盲注下的单挑：全下或弃牌

全下相对弃牌的 EV（筹码 S bb，盲注 0.5 和 1）= P(弃牌) × 1.5 + P(跟注) × [胜率 × 2S − (S − 0.5)]

锦标赛：筹码不等于现金

ICM：P(第 1 名) = 筹码 ÷ 总筹码，其余名次同理；权益 = Σ P(名次) × 奖金。 跟注所需胜率（ICM）= 损失 ÷ (损失 + 收益)

扑克方差：短期结果为何波动

N 手后：均值 = 赢率 × N/100； 分散 = 1.96 × SD × √(N/100)； 测得的赢率 ± 1.96 × SD ÷ √(N/100)

扑克破产风险：资金与方差

破产风险 ≈ e^(−2 w B ÷ σ²)； 目标风险 r 所需的资金：B = −σ² × ln(r) ÷ (2w)

扑克凯利准则：资金风险管理

凯利比例 f* = (b × p − q) ÷ b，其中赔率为 b 赔 1，获胜概率为 p，失败概率 q = 1 − p。 增长 = p ln(1 + b f) + q ln(1 − f)

资金规则：买入数、升级与降级

买入数 = 资金 ÷ (100 × 大盲注)：1,000 ÷ (100 × 0.5) = 20。 资金低于 规则买入数 × 100 × 大盲注 时降级