Matematica del poker: formule, probabilità e calcolatori gratis

Carte e probabilità

Il mazzo in numeri: 52 carte, 1.326 mani iniziali

C(52, 2) = 52 × 51 ÷ 2 = 1.326 mani iniziali, dove C(n, k) conta i modi di scegliere k carte tra n. Un tipo: coppia 4 × 3 ÷ 2 = 6, suited 4, offsuit 4 × 3 = 12

Quanto spesso ricevi una coppia, gli assi o una mano suited

Probabilità di una mano = le sue combinazioni ÷ 1.326: assi 6 ÷ 1.326 = 1 su 221, coppia qualsiasi 78 ÷ 1.326 = 1 su 17

Le combinazioni di una mano: 6, 4 e 12

Coppia: n × (n − 1) ÷ 2 con n carte non viste del suo valore: 4 → 6, 3 → 3, 2 → 1. Non accoppiata: non viste di un valore × non viste dell’altro: 3 × 4 = 12

Percentuali e odds nel poker: come convertirle

Odds contro a:b = b ÷ (a + b): 4 a 1 = 1 ÷ 5 = 20%. Odds contro = insuccessi ÷ successi: il 25% fallisce il 75%, 75 ÷ 25 = 3 a 1

Almeno una volta: la regola del complemento

P(almeno una volta in n tentativi) = 1 − (1 − p)ⁿ: assi in 100 mani, 1 − (220/221)¹⁰⁰ ≈ 1 − 0,635 = 36,5%

Cosa porta il flop: set, progetti di colore e coppie

Flop = C(50, 3) = 50 × 49 × 48 ÷ 6 = 19.600. Almeno un centro = 1 − flop a vuoto ÷ 19.600: set con una coppia servita 1 − 17.296 ÷ 19.600 = 11,8%

I dieci punti e quanto spesso escono

Una mano ogni quante = tutte le mani ÷ mani con quel punto: la scala reale è 2.598.960 ÷ 4 = 649.740 con cinque carte, 133.784.560 ÷ 4.324 = 30.940 con sette

Pot odds e outs

Pot odds e implied odds

Equity richiesta = call ÷ (piatto + call), dove il piatto include la puntata che affronti. Vincite extra necessarie = call ÷ equity − (piatto + call)

Fold, call o rilancio: scegliere l’azione

Prezzo = call ÷ (piatto con la sua puntata + call): 10 ÷ (30 + 10) = 25%. Chiama quando vinci più spesso del prezzo

Contare gli outs: puliti e sporchi

Una carta: outs ÷ 47 al flop, outs ÷ 46 al turn. Due carte: 1 − (47 − outs) ÷ 47 × (46 − outs) ÷ 46. Regole rapide: outs × 2% o outs × 4%

Chiudere i progetti: mani che cambiano

Una carta: outs ÷ 47. Due carte: 1 − (47 − outs)/47 × (46 − outs)/46. Regola del 2 e del 4: ≈ 2% o 4% per out

Carte gratis e protezione

Puntata di pareggio contro un progetto al turn = piatto × outs ÷ (46 − 2 × outs): 20 × 9 ÷ 28 = 6,4 bb

Coppie servite e set mining

Necessario da ogni set = 7,5 × call; necessario dopo il flop = 7,5 × call − fiche degli altri giocatori nel piatto: 7,5 × 3 − 4,5 = 18 bb

Equity e range di mani

La dominazione: perché A9 perde contro AK

Equity = (vittorie + pareggi ÷ 2) ÷ board: (407.694 + 79.513 ÷ 2) ÷ 1.712.304 = 26,1%

Connector suited e carte broadway

Bonus suited = equity suited − equity offsuit: 45,4% − 42,3% = 3,1 punti

Leggere le mani come distribuzioni

Coppie: C(4,2) = 6 combinazioni; mani non accoppiate: 4 × 4 = 16 (4 suited, 12 offsuit). Con una carta di quel valore visibile: coppie 3, non accoppiate 3 × 4 = 12

La tua mano contro una distribuzione

Equity contro range = Σ combo(h) × equity contro h ÷ Σ combo(h)

Giocare con precisione a carte scoperte

EV(call) = equity × (piatto + call) − call, con il suo all-in nel piatto; chiama quando equity > call ÷ (piatto + call)

Valore atteso, puntate e teoria dei giochi

Valore atteso (EV) nel poker: valutare un call

EV = Σ probabilità × risultato. Call: EV = equity × piatto − (1 − equity) × call = equity × (piatto + call) − call, con la sua puntata nel piatto

Perché puntiamo: valore e bluff

Un bluff deve funzionare con frequenza puntata ÷ (piatto + puntata): 10 ÷ (20 + 10) = 1 su 3 = 33,3%

Le dimensioni della puntata come quota del piatto

Prezzo di chi chiama = puntata ÷ (piatto + 2 × puntata). Un bluff deve funzionare con frequenza puntata ÷ (piatto + puntata). Metà piatto: 15 ÷ 60 = 25% e 15 ÷ 45 = 33,3%

Giochi a mezza street e rapporto di bluff

α = s ÷ (1 + s). Bluff per puntata di valore = α; quota di bluff nel range di puntata = α ÷ (1 + α); difesa minima = 1 − α = 1 ÷ (1 + s)

Teoria dei giochi nel poker: strategia ottimale ed exploitativa

Equilibrio: ogni strategia è una risposta ottima all’altra. Puntata piatto: un bluff ogni due value bet, quindi i bluff sono puntata ÷ (piatto prima della puntata + 2 × puntata) = 1 ÷ 3 delle puntate

Il gioco AKQ: la teoria dei giochi del poker con tre carte

Piatto P (più di 1 puntata), puntata 1: bluffa con la Q con frequenza 1 ÷ (P + 1); chiama con il K con frequenza (P − 1) ÷ (P + 1)

Il gioco [0,1]: mani continue

α = 1 ÷ (P + 1). Chi chiama lo fa con il miglior c = 2(1 − α) ÷ ((1 + α)(2 − α)); chi punta fa value bet con il miglior c ÷ 2 e bluffa con il peggior α × c ÷ 2

La strada verso il poker: più street

Stessa frazione f a ogni street: piatto × (1 + 2f)^n = piatto + 2 × stack

Stack corti, tornei e bankroll

Heads-up con bui alti: all-in o fold

EV dell’all-in rispetto al fold, stack di S bb, bui di 0,5 e 1: P(fold) × 1,5 + P(call) × [equity × 2S − (S − 0,5)]

Tornei: le fiche non sono denaro

ICM: P(1º) = stack ÷ fiche totali, poi lo stesso per le posizioni rimanenti; equity = Σ P(posizione) × premio. Equity richiesta per chiamare (ICM) = perdita ÷ (perdita + guadagno)

Varianza nel poker: perché i risultati oscillano

Dopo N mani: media = win rate × N/100; dispersione = 1,96 × DS × √(N/100); win rate misurato ± 1,96 × DS ÷ √(N/100)

Rischio di rovina nel poker: bankroll e varianza

Rischio di rovina ≈ e^(−2 w B ÷ σ²); bankroll per un rischio obiettivo r: B = −σ² × ln(r) ÷ (2w)

Criterio di Kelly nel poker: rischio del bankroll

Frazione di Kelly f* = (b × p − q) ÷ b per una quota b a 1, probabilità di vincere p, probabilità di perdere q = 1 − p. Crescita = p ln(1 + b f) + q ln(1 − f)

Le regole del bankroll: buy-in, salire e scendere di livello

Buy-in = bankroll ÷ (100 × big blind): 1.000 ÷ (100 × 0,5) = 20. Scendi di livello sotto regola × 100 × big blind