第 3 单元 · 第 12 课，共 39 课 · 免费

用数字看一副牌：52 张牌，1,326 种起手牌

课程作者：Hernan Alejandro Gajardo Morales

一副牌可以发给你 1,326 种不同的底牌组合，但打法不同的手牌类型只有 169 种。A♠ K♦ 和 A♥ K♣ 是同一类型的两手不同的牌：翻牌前，只有当你的两张牌花色相同时，花色才有意义。数清每种类型有多少种发法，是从牌走向赔率的第一步。

这手牌

你的底牌：A♠ K♦，一张 A 和一张 K，花色不同。翻牌前，它们的打法和 A♥ K♣ 或 A♣ K♠ 完全一样。

先预测

一副牌有多少种方式发给你一张 A 和一张 K？

1. 8 种：有 4 张 A 和 4 张 K
2. 16 种：4 张 A 中的每一张都可以搭配 4 张 K 中的每一张
3. 12 种：两张牌的花色必须不同

一步步算出来

先数一副牌：13 个点数 × 4 种花色 = 52 张牌。你的第一张牌可以是 52 张中的任意一张，第二张可以是其余 51 张中的任意一张，共 52 × 51 = 2,652 种方式，但这样每手牌都被数了两次：先 A♠ 后 K♦，和先 K♦ 后 A♠。所以起手牌共有 52 × 51 ÷ 2 = 1,326 种。一个对子取同一点数四张牌中的两张，有 4 × 3 ÷ 2 = 6 种组合，13 个对子共 13 × 6 = 78 手。两个不同的点数有 13 × 12 ÷ 2 = 78 种选法，每种选法的同花牌有 4 种组合，每种花色一种，非同花牌有 4 × 3 = 12 种。合计 78 + 78 × 4 + 78 × 12 = 78 + 312 + 936 = 1,326。

任何一组手牌都可以用同样的方法逐类计数。至少含一张 A 的手牌，从反面数更快：不含 A 的手牌只用到另外 48 张牌，有 48 × 47 ÷ 2 = 1,128 种，所以有 1,326 − 1,128 = 198 手至少含一张 A。在 13 × 13 的起手牌矩阵中，对子沿对角线排列，同花手牌在对角线上方，非同花手牌在下方。每个格子是一种类型，但格子之间并不相等：一个非同花格子有 12 手，一个对子格子有 6 手，一个同花格子只有 4 手。

公式

C(52, 2) = 52 × 51 ÷ 2 = 1,326 种起手牌，其中 C(n, k) 表示从 n 张牌中选 k 张的方式数。 一种类型：对子 4 × 3 ÷ 2 = 6，同花 4，非同花 4 × 3 = 12

检查你的理解

1. 1,326 种起手牌中，有多少种至少含一张红桃？

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   答案：585

   不含红桃的手牌只用到另外 39 张牌：39 × 38 ÷ 2 = 741。所以有 1,326 − 741 = 585 手至少含一张红桃。

2. 一名玩家翻牌前只用 QQ、AKs 和 AQo 加注。这一共是多少种组合？

   查看答案

   答案：22

   QQ 是对子，6 种。AKs 是同花，4 种。AQo 是非同花，12 种。合计 6 + 4 + 12 = 22。

3. J♠ T♠ 和 J♥ T♥：它们是什么关系？

   1. 同一种类型 JTs 的两种组合
   2. 两种不同的手牌类型
   3. 同一种组合的两个名字
   查看答案

   答案：同一种类型 JTs 的两种组合

   两者都是同一花色的一张 J 和一张 10：是 JTs 的 4 种组合中的两种，而 JTs 是 169 种类型之一。