第 3 单元 · 第 17 课，共 39 课 · 免费

至少一次：补集法则

课程作者：Hernan Alejandro Gajardo Morales

在 100 手牌中，你至少拿到一次 AA 的概率只有 36.5%。把 100 次 221 分之 1 的概率加起来会得到 45%，但不同手牌的概率不能这样相加。先求出它一次都不发生的概率，再用 1 减去它：这就是补集法则。

这手牌

这是你本次打的第 100 手牌，还是没有拿到 AA：这次是 K♣ 7♦。每次发牌都是重新洗牌，拿到 AA 的概率都是 221 分之 1。

先预测

你需要打多少手牌，才能有一半的机会至少拿到一次 AA？

1. 约 111 手：221 的一半
2. 约 153 手：没拿到的概率要相乘
3. 221 手：AA 每 221 手出现一次

一步步算出来

每 221 手中有 220 手没有 AA。连续两手都没有 AA 的概率是 220/221 × 220/221，因为每次发牌相互独立：第一手完全不能告诉你第二手的情况。打 100 手，就把没拿到的概率乘 100 次：(220/221)¹⁰⁰ ≈ 0.635，所以有 63.5% 的 100 手牌局一次 AA 都见不到。其余的 1 − 0.635 = 36.5%，至少能见到一次 AA。同样的法则适用于任何事件：口袋对子每 17 手出现一次，所以 10 手牌中至少见到一次口袋对子的概率是 1 − (16/17)¹⁰ ≈ 1 − 0.545 = 45.5%。

补集法则适用于所有“至少一次”的问题：接下来十手牌中至少有一次口袋对子，接下来的五次口袋对子中至少中一次暗三条。求出它一次都不发生的概率，每尝试一次就乘一次，再用 1 减去结果。如果每次尝试是从同一副牌里发出的一张牌，比如翻牌的三张，落空的概率就会一张一张地变化，这时要改为把这些概率相乘。它还能告诉你要等多久：要打满 153 手，至少拿到一次 AA 的可能性才会超过一半，而即使打 500 手，仍有 10.4% 的概率一次都拿不到。

公式

P(n 次尝试中至少一次) = 1 − (1 − p)ⁿ：100 手牌中拿到 AA，1 − (220/221)¹⁰⁰ ≈ 1 − 0.635 = 36.5%

检查你的理解

1. 你的同花听牌每 5 次成 1 次。你在 4 手不同的牌中各拿到一次这样的听牌。它至少成一次的概率是多少 %？

   查看答案

   答案：59%

   每次都是 5 次中有 4 次落空：四次全部落空的概率是 0.8⁴ = 0.4096，所以 1 − 0.4096 = 59.0%。

2. 你全下三次，每次都是掷硬币局，你有一半的时间获胜。三次全输的概率是多少 %？

   查看答案

   答案：12.5%

   独立事件的概率相乘：0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.125，即 12.5%。

3. 你每天打 30 手牌。为什么一天中至少拿到一次 AA 的概率低于 30 ÷ 221 = 13.6%？

   1. 直接相加会把拿到两次 AA 的一天算成两个幸运日
   2. 刚拿过 AA 之后，再拿到 AA 的可能性会变小
   3. 满桌时 AA 出现得更少
   查看答案

   答案：直接相加会把拿到两次 AA 的一天算成两个幸运日

   不同手牌的概率不能相加。正确的数字是 1 − (220/221)³⁰ ≈ 12.7%；直接相加会把每一个拿到两次或更多次 AA 的日子重复计算。