Módulo 3 · Lección 17 de 39 · Gratis

Al menos una vez: la regla del complemento

Curso de Hernan Alejandro Gajardo Morales

En 100 manos recibes ases al menos una vez solo el 36,5% de las veces. Sumar 100 probabilidades de 1 de cada 221 daría un 45%, pero las probabilidades de manos distintas no se suman así. Halla la probabilidad de que no ocurra nunca y réstala de 1: esa es la regla del complemento.

La mano

Mano 100 de tu sesión, y todavía no te han llegado los ases: esta vez, K♣ 7♦. Cada reparto es una baraja recién mezclada, con ases 1 vez de cada 221.

Predice primero

¿Cuántas manos necesitas para tener un 50% de probabilidades de recibir ases al menos una vez?

1. Unas 111: la mitad de 221
2. Unas 153: los fallos se multiplican
3. 221: los ases salen una vez cada 221 manos

Los números, paso a paso

Una mano sin ases sale 220 veces de cada 221. Dos manos así seguidas salen 220/221 × 220/221 de las veces, porque los repartos son independientes: el primero no te dice nada del segundo. En 100 manos, los fallos se multiplican 100 veces: (220/221)¹⁰⁰ ≈ 0,635, así que el 63,5% de las sesiones de 100 manos no ven ases ni una sola vez. El resto, 1 − 0,635 = 36,5%, ven ases al menos una vez. La misma regla sirve para cualquier cosa: una pareja servida sale 1 mano de cada 17, así que en 10 manos ves al menos una 1 − (16/17)¹⁰ ≈ 1 − 0,545 = 45,5% de las veces.

La regla del complemento sirve para cualquier pregunta de «al menos una vez»: al menos una pareja servida en las próximas diez manos, al menos un set con tus próximas cinco parejas servidas. Halla la probabilidad de que no ocurra nunca, multiplícala una vez por cada intento y resta el resultado de 1. Cuando los intentos son cartas de una misma baraja, como las tres cartas de un flop, la probabilidad de fallo cambia carta a carta, así que, en su lugar, multiplica esas probabilidades. También te dice cuánto hay que esperar: recibir ases al menos una vez solo pasa a ser más probable que no a partir de 153 manos, e incluso 500 manos dejan un 10,4% de probabilidades de no verlos.

Fórmula

P(al menos una vez en n intentos) = 1 − (1 − p)ⁿ: ases en 100 manos, 1 − (220/221)¹⁰⁰ ≈ 1 − 0,635 = 36,5%

Comprueba lo que has entendido

1. Tu proyecto de color se completa 1 vez de cada 5. Lo tienes en 4 manos distintas. ¿Qué probabilidad hay de que se complete al menos una vez, en %?

   Ver la respuesta

   Respuesta: 59%

   Cada vez falla 4 de cada 5: 0,8⁴ = 0,4096 es la probabilidad de cuatro fallos, así que 1 − 0,4096 = 59,0%.

2. Vas all-in tres veces, cada vez en un 50/50 que ganas la mitad de las veces. ¿Qué probabilidad hay de que pierdas los tres, en %?

   Ver la respuesta

   Respuesta: 12,5%

   Las probabilidades independientes se multiplican: 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125, o el 12,5%.

3. Juegas 30 manos al día. ¿Por qué la probabilidad de recibir al menos una pareja de ases en un día es menor que 30 ÷ 221 = 13,6%?

   1. Al sumar, un día con dos parejas de ases cuenta como dos días de suerte
   2. Los ases son menos probables justo después de haberlos tenido
   3. Los ases salen menos en una mesa llena
   Ver la respuesta

   Respuesta: Al sumar, un día con dos parejas de ases cuenta como dos días de suerte

   Las probabilidades de manos distintas no se suman. El número correcto es 1 − (220/221)³⁰ ≈ 12,7%; la suma cuenta más de una vez cada día con dos o más parejas de ases.