モジュール3・レッスン 17/39 · 無料

少なくとも1回：余事象の法則

講座作成：Hernan Alejandro Gajardo Morales

100ハンドのうちに AA が少なくとも1回配られる確率は、わずか36.5%です。221分の1の確率を100回足すと45%になりますが、別々のハンドの確率はそのようには足し算できません。一度も起こらない確率を求めて、それを1から引きます。これが余事象の法則です。

このハンド

セッションの100ハンド目で、まだ AA は来ていません。今回は K♣ 7♦ です。毎回のディールは新しくシャッフルされたデッキからで、AA が来るのは221回に1回です。

まず予想しよう

AA が少なくとも1回配られる確率が五分五分になるには、何ハンド必要ですか？

1. 約111：221の半分
2. 約153：外れの確率が掛け合わされるから
3. 221：AA は221ハンドに1回来るから

計算の流れ

AA でないハンドは221回のうち220回来ます。ディールは独立していて、1回目は2回目について何も教えてくれないので、そのようなハンドが2回続く確率は 220/221 × 220/221 です。100ハンドでは外れの確率が100回掛け合わされます：(220/221)¹⁰⁰ ≈ 0.635。つまり100ハンドのセッションの63.5%では、AA が一度も来ません。残りの 1 − 0.635 = 36.5% では、少なくとも1回来ます。同じルールはどんなことにも使えます。ポケットペアは17ハンドに1回来るので、10ハンドで少なくとも1回見る確率は 1 − (16/17)¹⁰ ≈ 1 − 0.545 = 45.5% です。

余事象の法則は、「少なくとも1回」というどんな問いにも使えます。次の10ハンドでポケットペアが少なくとも1回、次の5回のポケットペアでセットが少なくとも1回。一度も起こらない確率を求め、試行の回数だけ掛け合わせ、その結果を1から引きます。フロップの3枚のように、試行が1つのデッキから配られるカードの場合は、外れの確率が1枚ごとに変わるので、代わりにその1枚ごとの確率を掛け合わせます。どれくらい待つことになるかもわかります。AA が少なくとも1回来る可能性が来ない可能性を上回るのは153ハンドを過ぎてからで、500ハンドでも、一度も来ない確率が10.4%残ります。

公式

P（n 回で少なくとも1回）= 1 − (1 − p)ⁿ：100ハンドで AA なら、1 − (220/221)¹⁰⁰ ≈ 1 − 0.635 = 36.5%

理解度チェック

1. あなたのフラッシュドローは5回に1回完成します。4つの別々のハンドでフラッシュドローを持ちました。少なくとも1回完成する確率は何%ですか？

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   答え：59%

   毎回5回に4回は外れるので、4回とも外れる確率は 0.8⁴ = 0.4096、したがって 1 − 0.4096 = 59.0% です。

2. あなたは3回オールインし、毎回、半分の確率で勝つコインフリップです。3回とも負ける確率は何%ですか？

   答えを見る

   答え：12.5%

   独立した確率は掛け合わせます：0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.125、つまり12.5%です。

3. あなたは1日に30ハンドプレイします。1日に AA が少なくとも1回来る確率が 30 ÷ 221 = 13.6% より低いのはなぜですか？

   1. 足し算では、AA が2回来た日を2日分の幸運として数えてしまうから
   2. AA が来た直後は、AA が来にくくなるから
   3. 満席のテーブルでは AA が来にくいから
   答えを見る

   答え：足し算では、AA が2回来た日を2日分の幸運として数えてしまうから

   別々のハンドの確率は足し算できません。正しい値は 1 − (220/221)³⁰ ≈ 12.7% です。合計では、AA が2回以上来た日を重複して数えています。