Módulo 3 · Lição 17 de 39 · Grátis

Pelo menos uma vez: a regra do complemento

Curso de Hernan Alejandro Gajardo Morales

Em 100 mãos, você recebe ases pelo menos uma vez só 36,5% das vezes. Somar 100 chances de 1 em 221 daria 45%, mas as chances de mãos separadas não se somam assim. Encontre a chance de isso nunca acontecer e subtraia de 1: essa é a regra do complemento.

A mão

Mão 100 da sua sessão, e nada de ases ainda: desta vez, K♣ 7♦. Cada distribuição vem de um baralho embaralhado de novo, com ases 1 vez em 221.

Primeiro, um palpite

De quantas mãos você precisa para ter uma chance de 50% de receber ases pelo menos uma vez?

1. Cerca de 111: metade de 221
2. Cerca de 153: as falhas se multiplicam
3. 221: os ases vêm uma vez a cada 221 mãos

As contas, passo a passo

Uma mão sem ases vem 220 vezes em 221. Duas mãos assim seguidas vêm 220/221 × 220/221 das vezes, porque as distribuições são independentes: a primeira não diz nada sobre a segunda. Em 100 mãos, as falhas se multiplicam 100 vezes: (220/221)¹⁰⁰ ≈ 0,635, então 63,5% das sessões de 100 mãos não veem nenhum par de ases. O resto, 1 − 0,635 = 36,5%, vê ases pelo menos uma vez. A mesma regra vale para qualquer coisa: um par de mão vem 1 mão em 17, então em 10 mãos você vê pelo menos um par de mão 1 − (16/17)¹⁰ ≈ 1 − 0,545 = 45,5% das vezes.

A regra do complemento serve para toda pergunta de “pelo menos uma vez”: pelo menos um par de mão nas próximas dez mãos, pelo menos um set nos seus próximos cinco pares de mão. Encontre a chance de isso nunca acontecer, multiplique-a uma vez para cada tentativa e subtraia o resultado de 1. Quando as tentativas são cartas de um mesmo baralho, como as três cartas de um flop, a chance de falha muda a cada carta, então multiplique essas chances em vez disso. A regra também diz quanto tempo esperar: receber ases pelo menos uma vez só passa a ser mais provável que não depois de 153 mãos, e mesmo 500 mãos deixam uma chance de 10,4% de não vir nenhum par de ases.

Fórmula

P(pelo menos uma vez em n tentativas) = 1 − (1 − p)ⁿ: ases em 100 mãos, 1 − (220/221)¹⁰⁰ ≈ 1 − 0,635 = 36,5%

Confira o que você entendeu

1. O seu flush draw se completa 1 vez em 5. Você tem um em 4 mãos diferentes. Qual é a chance de ele se completar pelo menos uma vez, em %?

   Ver a resposta

   Resposta: 59%

   A cada vez, ele falha 4 vezes em 5: 0,8⁴ = 0,4096 é a chance de quatro falhas, então 1 − 0,4096 = 59,0%.

2. Você fica all-in três vezes, cada vez num cara ou coroa que você ganha metade das vezes. Qual é a chance de perder os três, em %?

   Ver a resposta

   Resposta: 12,5%

   Chances independentes se multiplicam: 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125, ou 12,5%.

3. Você joga 30 mãos por dia. Por que a chance de pelo menos um par de ases num dia é menor que 30 ÷ 221 = 13,6%?

   1. A soma conta um dia com dois pares de ases como dois dias de sorte
   2. Os ases são menos prováveis logo depois de você recebê-los
   3. Os ases vêm com menos frequência numa mesa cheia
   Ver a resposta

   Resposta: A soma conta um dia com dois pares de ases como dois dias de sorte

   As chances de mãos separadas não se somam. O número certo é 1 − (220/221)³⁰ ≈ 12,7%; a soma conta mais de uma vez todo dia com dois ou mais pares de ases.