Modulo 3 · Lezione 17 di 39 · Gratis

Almeno una volta: la regola del complemento

Corso di Hernan Alejandro Gajardo Morales

In 100 mani ricevi gli assi almeno una volta solo nel 36,5% dei casi. Sommare 100 probabilità di 1 su 221 darebbe il 45%, ma le probabilità di mani separate non si sommano così. Trova la probabilità che non succeda mai e sottraila da 1: questa è la regola del complemento.

La mano

Mano numero 100 della tua sessione, e ancora niente assi: questa volta K♣ 7♦. Ogni mano viene da un nuovo mescolamento, con gli assi 1 volta su 221.

Prima prevedi

Quante mani ti servono per avere il 50% di probabilità di ricevere gli assi almeno una volta?

1. Circa 111: metà di 221
2. Circa 153: le mancate uscite si moltiplicano
3. 221: gli assi arrivano una volta ogni 221 mani

I conti passo per passo

Una mano senza assi arriva 220 volte su 221. Due mani così di fila arrivano con probabilità 220/221 × 220/221, perché le mani sono indipendenti: la prima non ti dice nulla sulla seconda. Su 100 mani le mancate uscite si moltiplicano 100 volte: (220/221)¹⁰⁰ ≈ 0,635, quindi il 63,5% delle sessioni da 100 mani non vede nessuna coppia d’assi. Il resto, 1 − 0,635 = 36,5%, vede gli assi almeno una volta. La stessa regola vale per qualsiasi cosa: una coppia servita arriva 1 mano su 17, quindi in 10 mani ne vedi almeno una con probabilità 1 − (16/17)¹⁰ ≈ 1 − 0,545 = 45,5%.

La regola del complemento si adatta a ogni domanda del tipo “almeno una volta”: almeno una coppia servita nelle prossime dieci mani, almeno un set con le tue prossime cinque coppie servite. Trova la probabilità che non succeda mai, moltiplicala una volta per ogni tentativo e sottrai il risultato da 1. Quando i tentativi sono carte dello stesso mazzo, come le tre carte di un flop, la probabilità di fallire cambia carta dopo carta, quindi moltiplica invece queste probabilità. Ti dice anche quanto devi aspettare: ricevere gli assi almeno una volta diventa più probabile del contrario solo dopo 153 mani, e anche 500 mani lasciano un 10,4% di probabilità di non vederli mai.

Formula

P(almeno una volta in n tentativi) = 1 − (1 − p)ⁿ: assi in 100 mani, 1 − (220/221)¹⁰⁰ ≈ 1 − 0,635 = 36,5%

Verifica cosa hai capito

1. Il tuo progetto di colore chiude 1 volta su 5. Ce l’hai in 4 mani diverse. Qual è la probabilità che chiuda almeno una volta, in %?

   Mostra la risposta

   Risposta: 59%

   Ogni volta fallisce 4 volte su 5: 0,8⁴ = 0,4096 è la probabilità di quattro fallimenti, quindi 1 − 0,4096 = 59,0%.

2. Vai all-in tre volte, ogni volta in un coin flip che vinci metà delle volte. Qual è la probabilità di perderli tutti e tre, in %?

   Mostra la risposta

   Risposta: 12,5%

   Le probabilità indipendenti si moltiplicano: 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125, cioè il 12,5%.

3. Giochi 30 mani al giorno. Perché la probabilità di almeno una coppia d’assi in un giorno è inferiore a 30 ÷ 221 = 13,6%?

   1. La somma conta un giorno con due coppie d’assi come due giorni fortunati
   2. Gli assi sono meno probabili subito dopo che li hai avuti
   3. Gli assi arrivano meno spesso a un tavolo pieno
   Mostra la risposta

   Risposta: La somma conta un giorno con due coppie d’assi come due giorni fortunati

   Le probabilità di mani separate non si sommano. Il numero giusto è 1 − (220/221)³⁰ ≈ 12,7%; la somma conta più di una volta ogni giorno con due o più coppie d’assi.