Modul 3 · Lektion 17 von 39 · Kostenlos

Mindestens einmal: die Gegenwahrscheinlichkeit

Kurs von Hernan Alejandro Gajardo Morales

In 100 Händen bekommst du nur in 36,5% der Fälle mindestens einmal Asse. Würdest du 100-mal die Chance 1 von 221 addieren, kämst du auf 45%, aber die Chancen einzelner Hände lassen sich so nicht addieren. Bestimme die Chance, dass es nie passiert, und ziehe sie von 1 ab: Das ist die Rechnung mit der Gegenwahrscheinlichkeit.

Die Hand

Hand 100 deiner Session, und immer noch keine Asse: diesmal K♣ 7♦. Vor jeder Hand wird neu gemischt, und Asse kommen 1-mal in 221 Händen.

Erst schätzen

Wie viele Hände brauchst du für eine Chance von 50%, mindestens einmal Asse zu bekommen?

1. Etwa 111: die Hälfte von 221
2. Etwa 153: Die Fehlschläge multiplizieren sich
3. 221: Asse kommen einmal in 221 Händen

Durchgerechnet

Eine Hand ohne Asse kommt 220-mal in 221. Zwei solche Hände hintereinander kommen in 220/221 × 220/221 der Fälle, weil die Hände unabhängig sind: Die erste sagt dir nichts über die zweite. Über 100 Hände multiplizieren sich die Fehlschläge 100-mal: (220/221)¹⁰⁰ ≈ 0,635, also sehen 63,5% aller Sessions mit 100 Händen überhaupt keine Asse. Die übrigen, 1 − 0,635 = 36,5%, sehen mindestens einmal Asse. Dieselbe Regel funktioniert für alles: Ein Pocket Pair kommt 1 Hand von 17, also siehst du in 10 Händen in 1 − (16/17)¹⁰ ≈ 1 − 0,545 = 45,5% der Fälle mindestens eines.

Die Gegenwahrscheinlichkeit passt zu jeder Frage nach „mindestens einmal“: mindestens ein Pocket Pair in den nächsten zehn Händen, mindestens ein Set aus deinen nächsten fünf Pocket Pairs. Bestimme die Chance, dass es nie passiert, multipliziere sie einmal für jeden Versuch und ziehe das Ergebnis von 1 ab. Sind die Versuche Karten aus demselben Deck, etwa die drei Karten eines Flops, ändert sich die Chance auf einen Fehlschlag von Karte zu Karte, also multiplizierst du stattdessen diese Chancen. Die Gegenwahrscheinlichkeit sagt dir auch, wie lange du warten musst: Mindestens einmal Asse wird erst nach 153 Händen wahrscheinlicher als nicht, und selbst nach 500 Händen bleibt eine Chance von 10,4%, keine zu bekommen.

Formel

P(mindestens einmal in n Versuchen) = 1 − (1 − p)ⁿ: Asse in 100 Händen, 1 − (220/221)¹⁰⁰ ≈ 1 − 0,635 = 36,5%

Prüfe dein Verständnis

1. Dein Flush Draw kommt 1-mal in 5 an. Du hast einen in 4 verschiedenen Händen. Wie groß ist die Chance, dass er mindestens einmal ankommt, in %?

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   Antwort: 59%

   Jedes Mal verfehlt er 4-mal in 5: 0,8⁴ = 0,4096 ist die Chance auf vier Fehlschläge, also 1 − 0,4096 = 59,0%.

2. Du bist dreimal all-in, jedes Mal in einem Coinflip, den du in der Hälfte der Fälle gewinnst. Wie groß ist die Chance, dass du alle drei verlierst, in %?

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   Antwort: 12,5%

   Unabhängige Chancen multiplizieren sich: 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125, also 12,5%.

3. Du spielst 30 Hände am Tag. Warum ist die Chance auf mindestens ein Paar Asse an einem Tag kleiner als 30 ÷ 221 = 13,6%?

   1. Beim Addieren zählt ein Tag mit zwei Paaren Asse wie zwei Glückstage
   2. Asse sind direkt nach Assen unwahrscheinlicher
   3. An einem vollen Tisch kommen Asse seltener
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   Antwort: Beim Addieren zählt ein Tag mit zwei Paaren Asse wie zwei Glückstage

   Chancen einzelner Hände addieren sich nicht. Die richtige Zahl ist 1 − (220/221)³⁰ ≈ 12,7%; die Summe zählt jeden Tag mit zwei oder mehr Paaren Asse mehrfach.