모듈 3 · 레슨 17/39 · 무료

적어도 한 번: 여사건 규칙

강좌 제작: Hernan Alejandro Gajardo Morales

100핸드 동안 에이스 페어를 한 번이라도 받을 확률은 36.5%뿐이에요. 221번에 1번인 확률을 100번 더하면 45%가 나오지만, 서로 다른 핸드의 확률은 그렇게 더해지지 않아요. 한 번도 일어나지 않을 확률을 구해서 1에서 빼세요: 이것이 여사건 규칙이에요.

이번 핸드

세션의 100번째 핸드, 아직 에이스 페어는 한 번도 없었어요. 이번 카드: K♣ 7♦. 딜마다 카드를 새로 섞으니, 에이스 페어는 매번 221번에 1번이에요.

먼저 예측하기

에이스 페어를 적어도 한 번 받을 확률이 반반이 되려면 몇 핸드가 필요할까요?

1. 약 111핸드: 221의 절반
2. 약 153핸드: 빗나갈 확률이 곱해진다
3. 221핸드: 에이스 페어는 221핸드에 한 번 온다

단계별 계산

에이스 페어가 아닌 핸드는 221번 중 220번 나와요. 그런 핸드가 두 번 연속 나올 확률은 220/221 × 220/221이에요. 딜은 서로 독립이라 첫 번째가 두 번째에 대해 아무것도 알려 주지 않기 때문이에요. 100핸드면 빗나갈 확률을 100번 곱해요: (220/221)¹⁰⁰ ≈ 0.635, 즉 100핸드 세션의 63.5%에서는 에이스 페어가 한 번도 나오지 않아요. 나머지 1 − 0.635 = 36.5%에서는 적어도 한 번 나와요. 이 규칙은 무엇에든 통해요: 포켓 페어는 17핸드에 1번 오니, 10핸드 동안 적어도 한 번 볼 확률은 1 − (16/17)¹⁰ ≈ 1 − 0.545 = 45.5%예요.

여사건 규칙은 모든 ‘적어도 한 번’ 질문에 들어맞아요: 다음 열 핸드에서 포켓 페어가 적어도 한 번, 다음 포켓 페어 다섯 번 중 셋이 적어도 한 번. 한 번도 일어나지 않을 확률을 구해 시도마다 한 번씩 곱하고, 그 결과를 1에서 빼세요. 플랍의 세 장처럼 시도가 한 덱에서 나오는 카드라면 빗나갈 확률이 카드마다 달라지니, 그럴 때는 그 확률들을 곱하세요. 얼마나 기다려야 하는지도 알 수 있어요: 에이스 페어를 적어도 한 번 받을 확률은 153핸드가 지나서야 절반을 넘고, 500핸드가 지나도 한 번도 받지 못할 확률이 10.4% 남아요.

공식

P(n번 시도 중 적어도 한 번) = 1 − (1 − p)ⁿ: 100핸드 동안 에이스 페어는 1 − (220/221)¹⁰⁰ ≈ 1 − 0.635 = 36.5%

이해도 확인

1. 내 플러시 드로우는 5번에 1번 완성돼요. 서로 다른 4핸드에서 이런 드로우를 들었어요. 적어도 한 번 완성될 확률은 몇 %인가요?

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   정답: 59%

   매번 5번 중 4번은 빗나가요: 네 번 모두 빗나갈 확률은 0.8⁴ = 0.4096이니, 1 − 0.4096 = 59.0%.

2. 세 번 올인했고, 매번 절반은 이기는 코인 플립이에요. 세 번 모두 질 확률은 몇 %인가요?

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   정답: 12.5%

   독립적인 확률은 곱해져요: 0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.125, 즉 12.5%.

3. 하루에 30핸드를 플레이해요. 하루에 에이스 페어를 적어도 한 번 받을 확률이 30 ÷ 221 = 13.6%보다 낮은 이유는 무엇인가요?

   1. 더하면 에이스 페어가 두 번 나온 날을 운 좋은 날 이틀로 센다
   2. 에이스 페어는 한 번 받은 직후에는 덜 나온다
   3. 인원이 꽉 찬 테이블에서는 에이스 페어가 덜 나온다
   정답 보기

   정답: 더하면 에이스 페어가 두 번 나온 날을 운 좋은 날 이틀로 센다

   서로 다른 핸드의 확률은 더해지지 않아요. 올바른 값은 1 − (220/221)³⁰ ≈ 12.7%이고, 단순한 합은 에이스 페어가 두 번 이상 나온 날을 여러 번 세요.