第 2 部分 · 第 6 课，共 25 课 · 免费

马脚藏在数据里

课程作者：Hernan Alejandro Gajardo Morales

一名你从未遇到过的玩家在前 20 手牌中加注了 6 手：30%。这个数字感觉像是读牌依据，但与之相符的真实加注率可以在约 10% 到 50% 之间的任何位置。统计数据是带误差范围的估计，而样本小时，误差范围很宽。

这手牌

20 手中的这 6 次加注可能来自三种玩家：加注 20% 手牌的紧凶、加注 30% 的松凶，或者加注 45% 的疯子。

先预测

20 手之后，三者中你能排除哪一个？

1. 一个都不能
2. 紧凶
3. 疯子

一步步算出来

一个频率的误差范围，在你观察到的值两侧各约为 1.96 × √(p × (1 − p) ÷ n)。这里 p = 6 ÷ 20 = 0.30，n = 20：1.96 × √(0.30 × 0.70 ÷ 20) ≈ 0.20，所以区间是 10% 到 50%。一种更适合小样本的严谨方法，即 Wilson 区间，给出 15% 到 52%。无论用哪种方法，三种风格都仍有可能。

误差范围只随样本量的平方根收窄：手数增加到四倍，不确定性才减半。把小样本当作微弱的先验，与每种风格通常的样子结合起来，并随着证据增多而更新。在这里的牌桌上，试试隐藏机器人的风格，从它们的行动中猜出来。

公式

观察到的频率 p = k ÷ n； 95% 误差范围 ≈ p ± 1.96 × √(p × (1 − p) ÷ n)，按 1 ÷ √n 缩小（小样本时 Wilson 区间更准确）

检查你的理解

1. 在你看到的 100 手牌中，他加注了 30 手。以 95% 的置信度，他真实的加注率在什么范围？

   1. 恰好 30%
   2. 约 21% 到 39%
   3. 约 10% 到 50%
   查看答案

   答案：约 21% 到 39%

   1.96 × √(0.30 × 0.70 ÷ 100) ≈ 0.09，所以约为 21% 到 39%。手数是 20 手的五倍，误差范围就窄了 √5 ≈ 2.2 倍。

2. 要让一项统计的不确定性减半，大约需要多少手牌？

   1. 两倍
   2. 四倍
   3. 十倍
   查看答案

   答案：四倍

   不确定性随样本量的平方根缩小，所以要减半需要四倍的手数。